previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых система \left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\a^2+ax+2ay=5 \end{array}\right. имеет решение.

Решение

\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\a^2+ax+2ay=5. \end{array}\right. Преобразуем первое уравнение системы:

x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right),\; x^2-4x+y^2-2y+5=0,\; x^2-4x+4+y^2-2y+1=0,\; {\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=0.

Оба слагаемых левой части неотрицательны. Сумма квадратов может равняться 0 тогда и только тогда, когда каждый из них равен 0, т. е. имеем единственное решение x=2, y=1. Система может иметь только это единственное решение, если оно будет удовлетворять и второму уравнению. Подставляем x=2, \ y=1 во второе уравнение и находим a.

a^2+2a+2a=5, \; a^2+4a-5=0,

D=16+4\cdot 5=36, \; \displaystyle a_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2},\; a=-5 или a=1.

Ответ:

\left\{-5; 1\right\}.