Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система $\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\a^2+ax+2ay=5 \end{array}\right.$ имеет решение.

Решение

$\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\a^2+ax+2ay=5. \end{array}\right.$

Преобразуем первое уравнение системы:

$x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right),\;$ $x^2-4x+y^2-2y+5=0,\;$ $x^2-4x+4+y^2-2y+1=0,\;$ ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=0.$

Оба слагаемых левой части неотрицательны. Сумма квадратов может равняться 0 тогда и только тогда, когда каждый из них равен 0, т. е. имеем единственное решение $x=2, y=1.$ Система может иметь только это единственное решение, если оно будет удовлетворять и второму уравнению. Подставляем $x=2, \ y=1$ во второе уравнение и находим a.

$a^2+2a+2a=5, \; a^2+4a-5=0,$

$D=16+4\cdot 5=36, \;$ $\displaystyle a_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2},\;$ $a=-5$ или $a=1.$

Ответ:

$\left\{-5; 1\right\}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 16.03.2023

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Это полезно