Решение. Задание 18, Тренировочная работа 25.09.19. Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система $\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\a^2+ax+2ay=5 \end{array}\right.$ имеет решение.

Решение

$\left\{ \begin{array}{c}x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right), \\a^2+ax+2ay=5. \end{array}\right.$ Преобразуем первое уравнение системы:

$x^2+y^2+5=2\left(2x+y\right),\;$ $x^2-4x+y^2-2y+5=0,\;$ $x^2-4x+4+y^2-2y+1=0,\;$ ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=0.$

Оба слагаемых левой части неотрицательны. Сумма квадратов может равняться 0 тогда и только тогда, когда каждый из них равен 0, т. е. имеем единственное решение $x=2, y=1.$ Система может иметь только это единственное решение, если оно будет удовлетворять и второму уравнению. Подставляем $x=2, \ y=1$ во второе уравнение и находим a.