Условие задачи
а) Решите уравнение \(\displaystyle \frac{9^{{\sin 2\ }x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x\ }}}{\sqrt{11{\sin x\ }}}=0 .\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] .\)
Решение
а) \(\displaystyle \frac{9^{{\sin 2\ }x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x\ }}}{\sqrt{11{\sin x\ }}}=0 .\) Так как \({\sin x\ }\) стоит в знаменателе и под корнем, то он положителен, и уравнение равносильно системе
\(\left\{ \begin{array}{c}
9^{{\sin 2\ }x}=9^{\sqrt{2}{\sin x\ }}, \\
{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
{\sin 2\ }x=\sqrt{2}{\sin x\ }, \\
{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \)
\(\left\{ \begin{array}{c}
2{\sin x\ }{\cos x\ }=\sqrt{2}{\sin x\ }, \\
{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
{\sin x\ }\left(2{\cos x\ }-\sqrt{2}\right)=0. \\
{\sin x\ }\textgreater 0. \end{array}
\right.\)
Уравнение системы при \({\sin x\ }\neq 0 \) можно разделить на \({\sin x\ } ,\) тогда получим \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
{\cos x\ }=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\
{\sin x\ }\textgreater 0. \end{array}
\right.\) Изобразим тригонометрический круг и на нём отметим точки, соответствующие значению \(\displaystyle {\cos x\ }=\frac{\sqrt{2}}{2}:\)
С учётом положительности \({\sin x\ }\) получаем единственную серию решений:
\(x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z.\)
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] .\) Видим, что отрезку принадлежит единственная точка \(x=\frac{\pi }{4}+4\pi =\frac{17\pi }{4} .\)
Ответ:
а) \(\displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z\); б) \(\displaystyle \frac{17\pi }{4} .\)
