Условие задачи
а) Решите уравнение \(\displaystyle \frac{9^{{\sin 2}x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x\ }}}{\sqrt{11{\sin x}}}=0 .\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\displaystyle \left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] .\)
Решение
а) \(\displaystyle \frac{9^{{\sin 2}x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x}}}{\sqrt{11{\sin x}}}=0 .\)
Так как \({\sin x}\) стоит в знаменателе и под корнем, то он положителен, и уравнение равносильно системе:
\(\left\{ \begin{array}{c}
9^{{\sin 2}x}=9^{\sqrt{2}{\sin x}}, \\
{\sin x}> 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
{\sin 2}x=\sqrt{2}{\sin x}, \\
{\sin x}> 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
2{\sin x}{\cos x}=\sqrt{2}{\sin x}, \\
{\sin x} > 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
{\sin x}\left(2{\cos x}-\sqrt{2}\right)=0, \\
{\sin x} > 0. \end{array}
\right.\)
Уравнение системы при \({\sin x}\neq 0 \) можно разделить на \({\sin x},\) тогда получим \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}
{\cos x}=\displaystyle \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}, \\
{\sin x}> 0. \end{array}
\right.\)
Изобразим тригонометрический круг и на нём отметим точки, соответствующие значению \(\displaystyle {\cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\)
С учётом положительности \({\sin x}\) получаем единственную серию решений:
\(x=\displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z.\)
б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\displaystyle \frac{7\pi }{2};5\pi \right] .\) Видим, что отрезку принадлежит единственная точка \(x=\displaystyle \frac{\pi }{4}+4\pi =\frac{17\pi }{4} .\)
Ответ:
а) \(\displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n, \; n\in Z\); б) \(\displaystyle \frac{17\pi }{4} .\)
