previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

а) Решите уравнение \displaystyle \frac{9^{{\sin 2\ }x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x\ }}}{\sqrt{11{\sin x\ }}}=0 .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] .

Решение

а) \displaystyle \frac{9^{{\sin 2\ }x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x\ }}}{\sqrt{11{\sin x\ }}}=0 . Так как {\sin x\ } стоит в знаменателе и под корнем, то он положителен, и уравнение равносильно системе

\left\{ \begin{array}{c}9^{{\sin 2\ }x}=9^{\sqrt{2}{\sin x\ }}, \\{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin 2\ }x=\sqrt{2}{\sin x\ }, \\{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow

\left\{ \begin{array}{c}2{\sin x\ }{\cos x\ }=\sqrt{2}{\sin x\ }, \\{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin x\ }\left(2{\cos x\ }-\sqrt{2}\right)=0, \\{\sin x\ }\textgreater 0. \end{array}\right.

Уравнение системы при {\sin x\ }\neq 0 , можно разделить на {\sin x\ } , тогда получим \displaystyle \left\{ \begin{array}{c}{\cos x\ }=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\{\sin x\ }\textgreater 0. \end{array}\right. Изобразим тригонометрический круг и на нём отметим точки, соответствующие значению \displaystyle {\cos x\ }=\frac{\sqrt{2}}{2}

С учётом положительности {\sin x\ } получаем единственную серию решений
x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z.

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] . Видим, что отрезку принадлежит единственная точка x=\frac{\pi }{4}+4\pi =\frac{17\pi }{4} .

Ответ:

а) \displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z; б) \displaystyle \frac{17\pi }{4} .