Решение. Задание 13, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

а) Решите уравнение $\displaystyle \frac{9^{{\sin 2\ }x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x\ }}}{\sqrt{11{\sin x\ }}}=0 .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] .$

Решение

а) $\displaystyle \frac{9^{{\sin 2\ }x}-3^{2\sqrt{2}{\sin x\ }}}{\sqrt{11{\sin x\ }}}=0 .$ Так как ${\sin x\ }$ стоит в знаменателе и под корнем, то он положителен, и уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{c}9^{{\sin 2\ }x}=9^{\sqrt{2}{\sin x\ }}, \\{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin 2\ }x=\sqrt{2}{\sin x\ }, \\{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\left\{ \begin{array}{c}2{\sin x\ }{\cos x\ }=\sqrt{2}{\sin x\ }, \\{\sin x\ }\textgreater 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{\sin x\ }\left(2{\cos x\ }-\sqrt{2}\right)=0. \\{\sin x\ }\textgreater 0. \end{array}\right.$

Уравнение системы при ${\sin x\ }\neq 0$ можно разделить на ${\sin x\ } ,$ тогда получим $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}{\cos x\ }=\frac{\sqrt{2}}{2}, \\{\sin x\ }\textgreater 0. \end{array}\right.$ Изобразим тригонометрический круг и на нём отметим точки, соответствующие значению $\displaystyle {\cos x\ }=\frac{\sqrt{2}}{2}:$

С учётом положительности ${\sin x\ }$ получаем единственную серию решений:
$x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z.$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right] .$ Видим, что отрезку принадлежит единственная точка $x=\frac{\pi }{4}+4\pi =\frac{17\pi }{4} .$

Ответ:

а) $\displaystyle \frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z$ ; б) $\displaystyle \frac{17\pi }{4} .$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 13, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 25.08.2023

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Это полезно