Условие задачи
Дана прямая треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1 .\) Известно, что AB=BC. Точка K — середина ребра \(A_1B_1 ,\) а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM:MC = 1:3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите расстояние между прямыми KM и \(A_1C_1 ,\) если \(AB = 6, AC = 8\) и \(AA_1=3 .\)
Решение
а) Укажем какую-нибудь плоскость, содержащую прямую KM. Для этого возьмём точку L — середину AB и через точки K, M и P проведём плоскость. Эта плоскость пересекает грань \(AA_1B_1B\) по прямой KL, параллельной прямой \(AA_1 ,\) и следовательно, как и \(AA_1\), перпендикулярна плоскости \(\left(ABC\right) .\)
Пусть H — середина AC. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BH является высотой, поэтому \(BH\bot AC .\) Точка M, делящая AC в отношении 1:3, является серединой AH. Таким образом, LM — средняя линия \(\vartriangle ABH ,\) поэтому она параллельна BH, а значит, перпендикулярна AC.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости
\(\left. \begin{array}{c}
KL\bot AC \\
LM\bot AC \end{array}
\right\}\Rightarrow AC\bot \left(KLM\right) .\)
\(\left. \begin{array}{c}
KM\in \left(KLM\right) \\
\left(KLM\right)\bot AC \end{array}
\right\}\Rightarrow KM\bot AC .\) Что и требовалось доказать.
б) Достроим сечение призмы плоскостью \(\left(KLM\right) .\) Линия её пересечения с верхней гранью \(A_1B_1C_1\) параллельна LM (как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей) \(P\in A_1C_1 \cap \left(KLM\right) .\) Соединим точки P и M.
Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми KM и \(A_1C_1\) как длину их общего перпендикуляра.
\(\left. \begin{array}{c}
A_1C_1\parallel AC \\
AC\bot \left(KLM\right) \end{array}
\right\}\Rightarrow A_1C_1\bot \left(KLM\right) ,\) следовательно, \(A_1C_1\)перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(\left(KLM\right) .\) Построим такую прямую в плоскости \(\left(KLM\right) ,\) которая будет перпендикулярна и KM.
Из точки P опустим перпендикуляр PT на прямую KM.
\(\left. \begin{array}{c}
A_1C_1\bot \left(KLM\right) \\
PT\in \left(KLM\right) \end{array}
\right\}\Rightarrow A_1C_1\bot PT ,\) \(PT\bot KM ,\) значит, PT — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. Чтобы найти его длину, рассмотрим четырёхугольник \(PKLM .\)
Это прямоугольник, так как \(KL\bot PK,KL\bot ML\) (см.а).
\(\left. \begin{array}{c}
ML\bot AA_1 \\
ML\bot AC \end{array}
\right\}\Rightarrow ML\bot \left(ACC_1\right)\Rightarrow ML\bot PM\) и \(PK=ML .\)
\(PT\) — высота прямоугольного треугольника \(PKM .\) \(PM=KL=AA_1=3 ,\) \(ML\) найдём из \(\vartriangle ABH .\)
AB=6, AC=8, AH=4, тогда по теореме Пифагора \(BH=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} ,\) \(ML=\sqrt{5} ,\) \(MK=\sqrt{5+9}=\sqrt{14} .\)
По методу площадей \(\displaystyle PK\cdot MP=KM\cdot PT ,\) \(PT=\frac{PK\cdot MP}{MK}=\frac{\sqrt{5}\cdot 3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{70}}{14} .\)
Ответ:
б) \(\displaystyle \frac{3\sqrt{70}}{14} .\)
