Решение. Задание 14, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1 .$ Известно, что AB=BC. Точка K — середина ребра $A_1B_1 ,$ а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM:MC = 1:3.

а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.

б) Найдите расстояние между прямыми KM и $A_1C_1 ,$ если $AB = 6, AC = 8$ и $AA_1=3 .$

Решение

а) Укажем какую-нибудь плоскость, содержащую прямую KM. Для этого возьмём точку L — середину AB и через точки K, M и P проведём плоскость. Эта плоскость пересекает грань $AA_1B_1B$ по прямой KL, параллельной прямой $AA_1 ,$ и следовательно, как и $AA_1$ перпендикулярна плоскости $\left(ABC\right) .$

Пусть H — середина AC. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BH является высотой, поэтому $BH\bot AC .$ Точка M, делящая AC в отношении 1:3, является серединой AH. Таким образом, LM — средняя линия $\vartriangle ABH ,$ поэтому она параллельна BH, а значит, перпендикулярна AC.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$\left. \begin{array}{c}KL\bot AC \\LM\bot AC \end{array}\right\}\Rightarrow AC\bot \left(KLM\right) .$

$\left. \begin{array}{c}KM\in \left(KLM\right) \\\left(KLM\right)\bot AC \end{array}\right\}\Rightarrow KM\bot AC .$ Что и требовалось доказать.

б) Достроим сечение призмы плоскостью $\left(KLM\right) .$ Линия её пересечения с верхней гранью $A_1B_1C_1$ параллельна LM (как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей) $P\in A_1C_1 \cap \left(KLM\right) .$ Соединим точки P и M.

Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми KM и $A_1C_1$ как длину их общего перпендикуляра.

$\left. \begin{array}{c}A_1C_1\parallel AC \\AC\bot \left(KLM\right) \end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\bot \left(KLM\right) ,$ следовательно, $A_1C_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\left(KLM\right) .$ Построим такую прямую в плоскости $\left(KLM\right) ,$ которая будет перпендикулярна и KM.

Из точки P опустим перпендикуляр PT на прямую KM.

$\left. \begin{array}{c}A_1C_1\bot \left(KLM\right) \\PT\in \left(KLM\right) \end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\bot PT ,$ $PT\bot KM ,$ значит, PT — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. Чтобы найти его длину, рассмотрим четырёхугольник $PKLM .$