previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 14, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

Дана прямая треугольная призма ABCA_1B_1C_1 . Известно, что AB=BC. Точка K — середина ребра A_1B_1 , а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM:MC = 1:3.

а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.

б) Найдите расстояние между прямыми KM и A_1C_1 , если AB = 6, AC = 8 и AA_1=3 .

Решение

а) Укажем какую-нибудь плоскость, содержащую прямую KM. Для этого возьмём точку L — середину AB и через точки K, M и P проведём плоскость. Эта плоскость пересекает грань AA_1B_1B по прямой KL, параллельной прямой AA_1 , и следовательно, как и AA_1 перпендикулярна плоскости \left(ABC\right) .

Пусть H — середина AC. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BH является высотой, поэтому BH\bot AC . Точка M, делящая AC в отношении 1:3, является серединой AH. Таким образом, LM — средняя линия \vartriangle ABH , поэтому она параллельна BH, а значит, перпендикулярна AC.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

\left. \begin{array}{c}KL\bot AC \\LM\bot AC \end{array}\right\}\Rightarrow AC\bot \left(KLM\right) .

\left. \begin{array}{c}KM\in \left(KLM\right) \\\left(KLM\right)\bot AC \end{array}\right\}\Rightarrow KM\bot AC . Что и требовалось доказать.

б) Достроим сечение призмы плоскостью \left(KLM\right) . Линия её пересечения с верхней гранью A_1B_1C_1 параллельна LM (как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей) P\in A_1C_1 \cap \left(KLM\right) . Соединим точки P и M.

Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми KM и A_1C_1 как длину их общего перпендикуляра.

\left. \begin{array}{c}A_1C_1\parallel AC \\AC\bot \left(KLM\right) \end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\bot \left(KLM\right) , следовательно, A_1C_1перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \left(KLM\right) . Построим такую прямую в плоскости \left(KLM\right) , которая будет перпендикулярна и KM.

Из точки P опустим перпендикуляр PT на прямую KM.

\left. \begin{array}{c}A_1C_1\bot \left(KLM\right) \\PT\in \left(KLM\right) \end{array}\right\}\Rightarrow A_1C_1\bot PT , PT\bot KM , значит, PT — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. Чтобы найти его длину, рассмотрим четырёхугольник PKLM .

Это прямоугольник, так как KL\bot PK,KL\bot ML (см.а)).

\left. \begin{array}{c}ML\bot AA_1 \\ML\bot AC \end{array}\right\}\Rightarrow ML\bot \left(ACC_1\right)\Rightarrow ML\bot PM и PK=ML .

PT — высота прямоугольного треугольника PKM . PM=KL=AA_1=3 , ML найдём из \vartriangle ABH .

AB=6, AC=8, AH=4, тогда по теореме Пифагора BH=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} , ML=\sqrt{5} , MK=\sqrt{5+9}=\sqrt{14} .

По методу площадей \displaystyle PK\cdot MP=KM\cdot PT , PT=\frac{PK\cdot MP}{MK}=\frac{\sqrt{5}\cdot 3}{\sqrt{14}}=\frac{3\sqrt{70}}{14} .

Ответ:

б) \displaystyle \frac{3\sqrt{70}}{14} .