Условие задачи
Дана прямая треугольная призма Известно, что AB=BC. Точка K — середина ребра
а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM:MC = 1:3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите расстояние между прямыми KM и если
и
Решение
а) Укажем какую-нибудь плоскость, содержащую прямую KM. Для этого возьмём точку L — середину AB и через точки K, M и P проведём плоскость. Эта плоскость пересекает грань по прямой KL, параллельной прямой
и следовательно, как и
перпендикулярна плоскости
Пусть H — середина AC. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BH является высотой, поэтому Точка M, делящая AC в отношении 1:3, является серединой AH. Таким образом, LM — средняя линия
поэтому она параллельна BH, а значит, перпендикулярна AC.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости
Что и требовалось доказать.
б) Достроим сечение призмы плоскостью Линия её пересечения с верхней гранью
параллельна LM (как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей)
Соединим точки P и M.
Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми KM и как длину их общего перпендикуляра.
следовательно,
перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости
Построим такую прямую в плоскости
которая будет перпендикулярна и KM.
Из точки P опустим перпендикуляр PT на прямую KM.
значит, PT — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. Чтобы найти его длину, рассмотрим четырёхугольник
Это прямоугольник, так как (см.а)).
и
— высота прямоугольного треугольника
найдём из
AB=6, AC=8, AH=4, тогда по теореме Пифагора
По методу площадей
Ответ:
б)