Условие задачи
Решите неравенство: \(\displaystyle 3^{\left|x\right|}-8-\frac{3^{\left|x\right|}+9}{9^{\left|x\right|}-4\cdot 3^{\left|x\right|}+3}\leq \frac{5}{3^{\left|x\right|}-1} .\)
Решение
\(\displaystyle 3^{\left|x\right|}-8-\frac{3^{\left|x\right|}+9}{9^{\left|x\right|}-4\cdot 3^{\left|x\right|}+3}\leq \frac{5}{3^{\left|x\right|}-1} .\)
Сделаем замену: \(3^{\left|x\right|}=t,t > 0 ,\) а с учётом того, что \(\left|x\right|\geq 0,3^{\left|x\right|}\geq 3^0=1,t\geq 1 ,\) \(9^{\left|x\right|}={\left(3^{\left|x\right|}\right)}^2=t^2 ,\) получаем неравенство:
\(\displaystyle t-8-\frac{t+9}{t^2-4t+3}\leq \frac{5}{t-1}\Leftrightarrow t-8-\frac{t+9}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}-\frac{5}{t-1}\leq 0\Leftrightarrow \)
\( \displaystyle t-8-\frac{t+9+5\left(t-3\right)}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\leq 0 \Leftrightarrow \) \( \displaystyle t-8-\frac{6\left(t-1\right)}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\leq 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
t-8-\frac{6}{t-3}\leq 0, \\
t\neq 1 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\frac{t^2-11t+18}{t-3}\leq 0, \\
t\neq 1 \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\frac{\left(t-9\right)\left(t-2\right)}{t-3}\leq 0, \\
t\neq 1. \end{array}
\right.\)
Квадратные трёхчлены легко разложить на множители, используя для нахождения корней теорему Виета.
Решаем неравенство методом интервалов учитывая, что \(t\geq 1,t\neq 1 .\)
Получаем \(\left[ \begin{array}{c}
1 < t\leq 2, \\
3 < t\leq 9. \end{array}
\right.\) Возвращаемся к старой переменной x, записывая \(2=3^{{{log}_3 2\ }} .\)
\(\left[ \begin{array}{c}
3^0 < 3^{\left|x\right|}\leq 3^{{{log}_3 2\ }}, \\
3 < 3^{\left|x\right|}\leq 3^2. \end{array}
\right.\) Показательная функция с основанием 3 монотонно возрастает, поэтому \(\left[ \begin{array}{c}
0 < \left|x\right|\leq {{log}_3 2\ }, \\
1 < \left|x\right|\leq 2. \end{array}
\right.\)
Используя геометрический смысл модуля как расстояния от точки x до 0, изображаем решение на числовой оси
и выписываем ответ: \(x\in [-2;-1)\cup [-{{log}_3 2 };0)\cup (0;{{log}_3 2 }]\cup (1;2].\)
Ответ:
\(x\in [-2;-1)\cup [-{{log}_3 2 };0)\cup (0;{{log}_3 2 }]\cup (1;2].\)
