previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

Решите неравенство \displaystyle 3^{\left|x\right|}-8-\frac{3^{\left|x\right|}+9}{9^{\left|x\right|}-4\cdot 3^{\left|x\right|}+3}\leq \frac{5}{3^{\left|x\right|}-1} .

Решение

\displaystyle 3^{\left|x\right|}-8-\frac{3^{\left|x\right|}+9}{9^{\left|x\right|}-4\cdot 3^{\left|x\right|}+3}\leq \frac{5}{3^{\left|x\right|}-1} .

Сделаем замену: 3^{\left|x\right|}=t,t\textgreater 0 , а с учётом того, что \left|x\right|\geq 0,3^{\left|x\right|}\geq 3^0=1,t\geq 1 , 9^{\left|x\right|}={\left(3^{\left|x\right|}\right)}^2=t^2 , получаем неравенство

\displaystyle t-8-\frac{t+9}{t^2-4t+3}\leq \frac{5}{t-1}\Leftrightarrow t-8-\frac{t+9}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}-\frac{5}{t-1}\leq 0\Leftrightarrow

\displaystyle t-8-\frac{t+9+5\left(t-3\right)}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\leq 0 \Leftrightarrow \displaystyle t-8-\frac{6\left(t-1\right)}{\left(t-1\right)\left(t-3\right)}\leq 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}t-8-\frac{6}{t-3}\leq 0, \\t\neq 1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\frac{t^2-11t+18}{t-3}\leq 0, \\t\neq 1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\frac{\left(t-9\right)\left(t-2\right)}{t-3}\leq 0, \\t\neq 1. \end{array}\right.

Квадратные трёхчлены легко разложить на множители, используя для нахождения корней теорему Виета.

Решаем неравенство методом интервалов учитывая, что t\geq 1,t\neq 1 .

Получаем \left[ \begin{array}{c}1\textless t\leq 2, \\3\textless t\leq 9. \end{array}\right. Возвращаемся к старой переменной x, записывая 2=3^{{{log}_3 2\ }} .

\left[ \begin{array}{c}3^0\textless 3^{\left|x\right|}\leq 3^{{{log}_3 2\ }}, \\3\textless 3^{\left|x\right|}\leq 3^2. \end{array}\right. Показательная функция с основанием 3 монотонно возрастает, поэтому \left[ \begin{array}{c}0\textless \left|x\right|\leq {{log}_3 2\ }, \\1\textless \left|x\right|\leq 2. \end{array}\right.

Используя геометрический смысл модуля как расстояния от точки x до 0, изображаем решение на числовой оси

и выписываем ответ: x\in [-2;-1)\cup [-{{log}_3 2 };0)\cup (0;{{log}_3 2 }]\cup (1;2].

Ответ:

x\in [-2;-1)\cup [-{{log}_3 2 };0)\cup (0;{{log}_3 2 }]\cup (1;2].