Решение. Задание 16, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад
Условие задачи
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику 
б) Вычислите радиус данной окружности, если 
BC =
и площадь треугольника 
в три раза меньше площади четырёхугольника BCB
C
Решение
а) Четырёхугольник 
вписан в окружность, значит, сумма его противоположных углов равна 
и 
следовательно, 
т. е. в треугольниках 
и 
и 
— общий.
По двум углам 
и 
подобны, что и требовалось доказать.
б) Площадь в три раза меньше площади четырёхугольника 
значит, в 4 раза меньше площади 
поэтому коэффициент подобия 
Переделаем чертёж согласно пункту б).
Радиус R окружности можно найти из равнобедренных треугольников 
и 
если знать центральные углы x и y, опирающиеся на основания этих треугольников, в которых высоты ОЕ и ОH являются ещё биссектрисами и медианами.
Угол A измеряется полуразностью дуг, на которые он опирается, т. е. полуразностью дуг BDC и 
откуда следует, что 
а 
Из 
и 
выразим синусы этих углов:
и 
откуда 
Выражая y через 
получим уравнение 
Так как 
— острый угол, то 
и получаем 
Из универсальной замены 
получаем 
Применяя теорему косинусов к 
получим уравнение для R.
откуда 
Ответ:
б) 
