Условие задачи
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках и
соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику
б) Вычислите радиус данной окружности, если BC =
и площадь треугольника
в три раза меньше площади четырёхугольника BCB
C
Решение
а) Четырёхугольник вписан в окружность, значит, сумма его противоположных углов равна
и
следовательно,
т. е. в треугольниках
и
и
— общий.
По двум углам и
подобны, что и требовалось доказать.
б) Площадь в три раза меньше площади четырёхугольника
значит, в 4 раза меньше площади
поэтому коэффициент подобия
Переделаем чертёж согласно пункту б).
Радиус R окружности можно найти из равнобедренных треугольников и
если знать центральные углы x и y, опирающиеся на основания этих треугольников, в которых высоты ОЕ и ОH являются ещё биссектрисами и медианами.
Угол A измеряется полуразностью дуг, на которые он опирается, т. е. полуразностью дуг BDC и
откуда следует, что
а
Из
и
выразим синусы этих углов:
и
откуда
Выражая y через получим уравнение
Так как
— острый угол, то
и получаем
Из универсальной замены
получаем
Применяя теорему косинусов к получим уравнение для R.
откуда
Ответ:
б)