Условие задачи
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7 % в первый год и на одинаковое целое число \(n\) процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение \(n\), при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Решение
Пусть \(S\) — сумма вклада.
По вкладу «А» каждый год сумма увеличивается в \(\displaystyle k=1+\frac{10}{100}=1,1\) раз и через 3 года будет \(S\cdot {\left(1,1\right)}^3=1,331\cdot S .\)
По вкладу «Б» через год будет \(S\cdot 1,07 ,\) а ещё через два увеличится в \(q^2 ,\) где \(\displaystyle q=1+\frac{n}{100} .\)
Вклад «Б» будет выгоднее вклада «А», если \(S\cdot 1,07\cdot q^2 > 1,331\cdot S ,\) т. е. \(\displaystyle q^2 > \frac{1,331}{1,07}=1,2439... ,\) так как \(S > 0 .\)
Очевидно, что \(n\) должно быть больше 10. Попробуем подобрать.
Пусть \(n=11,\) тогда \(q^2=1,11^2=1,2321 < 1,2439... .\)
Пусть \(n=12,\) тогда \(q^2=1,12^2=1,2544 > 1,2439... .\)
Следовательно, \(n=12.\)
Ответ:
12.
