previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение {\left(x^2+\sqrt{x+2a}\right)}^2={\left(1-2x+\sqrt{x+2a}\right)}^2 имеет единственное решение на отрезке \left[-1;1\right] .

Решение

{\left(x^2+\sqrt{x+2a}\right)}^2={\left(1-2x+\sqrt{x+2a}\right)}^2 . Сделаем замену b=2a, перенесём всё в левую часть и разложим по формуле для разности квадратов: {\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)}^2-{\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)}^2=0\Leftrightarrow
\left(\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)-\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)\right)\left(\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)+\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)\right)=0.

Получаем совокупность

\left[ \begin{array}{c}x^2+\sqrt{x+b}=1-2x+\sqrt{x+b}, \\x^2+\sqrt{x+b}=-1+2x-\sqrt{x+b} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x^2+\sqrt{x+b}=1-2x+\sqrt{x+b}, \\x^2+\sqrt{x+b}=-1+2x-\sqrt{x+b}, \end{array}\right. \\x+b\geq 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow

\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}x^2+2x-1=0, \\x+b\geq q 0; \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x^2-2x+1+2\sqrt{x+b}=0, \\x+b\geq q 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}x^2+2x-1=0, \\x+b\geq q 0; \end{array}\right. \ \ \ \left(1\right) \\\left\{ \begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2+2\sqrt{x+b}=0, \\x+b\geq q 0. \end{array}\right.\left(2\right) \end{array}\right.

Решим первую систему \left\{ \begin{array}{c}x^2+2x-1=0, \\x+b\geq 0. \end{array}\right.

Квадратное уравнение x^2+2x-1=0 имеет решение

\displaystyle x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2}, \left[ \begin{array}{c}x_1=-1-\sqrt{2}, \\x_2=\sqrt{2}-1. \end{array}\right. , но первый корень не принадлежит отрезку \left[-1;1\right] , а второй — принадлежит. Первая система принимает вид:

\left\{ \begin{array}{c}x=\sqrt{2}-1, \\b\geq -x \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x=\sqrt{2}-1, \\b\geq 1-\sqrt{2}. \end{array}\right.

Вторая система \left\{ \begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2+2\sqrt{x+b}=0, \\x+b\geq 0. \end{array}\right.

Оба слагаемых левой части уравнения неотрицательны, решение возможно только при равенстве обоих нулю, поэтому получаем

\left\{ \begin{array}{c}x=1, \\x=-b, \\x+b\geq 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x=1, \\b=-1. \end{array}\right.

Полученные корни не совпадают, проверим, не могут ли они получаться при одинаковых b. Изображаем ось параметра b.

Видим, что корни получаются при разных b, значит,

b\in \left\{-1\right\}\cup [1-\sqrt{2};+\infty ) , а a\in \left\{-\frac{1}{2}\right\}\cup \left[\frac{1-\sqrt{2}}{2};+\infty \right)

Ответ:

a\in \left\{-\frac{1}{2}\right\}\cup \left[\frac{1-\sqrt{2}}{2};+\infty \right).