Условие задачи
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \({\left(x^2+\sqrt{x+2a}\right)}^2={\left(1-2x+\sqrt{x+2a}\right)}^2\) имеет единственное решение на отрезке \(\left[-1;1\right] .\)
Решение
\({\left(x^2+\sqrt{x+2a}\right)}^2={\left(1-2x+\sqrt{x+2a}\right)}^2 .\)
Сделаем замену \(b=2a,\) перенесём всё в левую часть и разложим по формуле для разности квадратов: \({\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)}^2-{\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)}^2=0\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left(\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)-\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)\right)\left(\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)+\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)\right)=0.\)
Получаем совокупность:
\(\left[ \begin{array}{c}
x^2+\sqrt{x+b}=1-2x+\sqrt{x+b}, \\
x^2+\sqrt{x+b}=-1+2x-\sqrt{x+b}; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
\left[ \begin{array}{c}
x^2+\sqrt{x+b}=1-2x+\sqrt{x+b}, \\
x^2+\sqrt{x+b}=-1+2x-\sqrt{x+b}, \end{array}
\right. \\
x+b\geq 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x^2+2x-1=0, \\
x+b\geq q 0, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x^2-2x+1+2\sqrt{x+b}=0, \\
x+b\geq q 0; \end{array}
\right. \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x^2+2x-1=0, \\
x+b\geq q 0, \end{array}
\right. \ \ \ \left(1\right) \\
\left\{ \begin{array}{c}
{\left(x-1\right)}^2+2\sqrt{x+b}=0, \\
x+b\geq q 0. \end{array}
\right.\left(2\right) \end{array}
\right.\)
Решим первую систему \(\left\{ \begin{array}{c}
x^2+2x-1=0, \\
x+b\geq 0. \end{array}
\right.\)
Квадратное уравнение \(x^2+2x-1=0\) имеет решение
\(\displaystyle x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2}, \; \left[ \begin{array}{c}
x_1=-1-\sqrt{2}, \\
x_2=\sqrt{2}-1, \end{array}
\right.\) но первый корень не принадлежит отрезку \(\left[-1;1\right] ,\) а второй — принадлежит.
Первая система принимает вид:
\(\left\{ \begin{array}{c}
x=\sqrt{2}-1, \\
b\geq -x; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x=\sqrt{2}-1, \\
b\geq 1-\sqrt{2}. \end{array}
\right.\)
Вторая система \(\left\{ \begin{array}{c}
{\left(x-1\right)}^2+2\sqrt{x+b}=0, \\
x+b\geq 0. \end{array}
\right.\)
Оба слагаемых левой части уравнения неотрицательны, решение возможно только при равенстве обоих нулю, поэтому получаем
\(\left\{ \begin{array}{c}
x=1, \\
x=-b, \\
x+b\geq 0; \end{array}
\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x=1, \\
b=-1. \end{array}
\right.\)
Полученные корни не совпадают, проверим, не могут ли они получаться при одинаковых \(b\). Изображаем ось параметра \(b\).
Видим, что корни получаются при разных \(b\), значит,
\(b\in \left\{-1\right\}\cup [1-\sqrt{2};+\infty ) ,\) а \(a\in \left\{-\displaystyle \frac{1}{2}\right\}\cup \left[\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2};+\infty \right).\)
Ответ:
\(a\in \left\{-\displaystyle \frac{1}{2}\right\}\cup \left[\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2};+\infty \right).\)
