Решение. Задание 18, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение ${\left(x^2+\sqrt{x+2a}\right)}^2={\left(1-2x+\sqrt{x+2a}\right)}^2$ имеет единственное решение на отрезке $\left[-1;1\right] .$

Решение

${\left(x^2+\sqrt{x+2a}\right)}^2={\left(1-2x+\sqrt{x+2a}\right)}^2 .$ Сделаем замену $b=2a,$ перенесём всё в левую часть и разложим по формуле для разности квадратов: ${\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)}^2-{\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)}^2=0\Leftrightarrow$
$\left(\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)-\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)\right)\left(\left(x^2+\sqrt{x+b}\right)+\left(1-2x+\sqrt{x+b}\right)\right)=0.$

Получаем совокупность

$\left[ \begin{array}{c}x^2+\sqrt{x+b}=1-2x+\sqrt{x+b}, \\x^2+\sqrt{x+b}=-1+2x-\sqrt{x+b} \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x^2+\sqrt{x+b}=1-2x+\sqrt{x+b}, \\x^2+\sqrt{x+b}=-1+2x-\sqrt{x+b}, \end{array}\right. \\x+b\geq 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}x^2+2x-1=0, \\x+b\geq q 0; \end{array}\right. \\\left\{ \begin{array}{c}x^2-2x+1+2\sqrt{x+b}=0, \\x+b\geq q 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c}x^2+2x-1=0, \\x+b\geq q 0; \end{array}\right. \ \ \ \left(1\right) \\\left\{ \begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2+2\sqrt{x+b}=0, \\x+b\geq q 0. \end{array}\right.\left(2\right) \end{array}\right.$

Решим первую систему $\left\{ \begin{array}{c}x^2+2x-1=0, \\x+b\geq 0. \end{array}\right.$

Квадратное уравнение $x^2+2x-1=0$ имеет решение

$\displaystyle x=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2}, \left[ \begin{array}{c}x_1=-1-\sqrt{2}, \\x_2=\sqrt{2}-1. \end{array}\right. ,$ но первый корень не принадлежит отрезку $\left[-1;1\right] ,$ а второй — принадлежит. Первая система принимает вид:

$\left\{ \begin{array}{c}x=\sqrt{2}-1, \\b\geq -x \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x=\sqrt{2}-1, \\b\geq 1-\sqrt{2}. \end{array}\right.$

Вторая система $\left\{ \begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2+2\sqrt{x+b}=0, \\x+b\geq 0. \end{array}\right.$

Оба слагаемых левой части уравнения неотрицательны, решение возможно только при равенстве обоих нулю, поэтому получаем

$\left\{ \begin{array}{c}x=1, \\x=-b, \\x+b\geq 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}x=1, \\b=-1. \end{array}\right.$

Полученные корни не совпадают, проверим, не могут ли они получаться при одинаковых b. Изображаем ось параметра b.

Видим, что корни получаются при разных b, значит,

$b\in \left\{-1\right\}\cup [1-\sqrt{2};+\infty ) ,$ а $a\in \left\{-\frac{1}{2}\right\}\cup \left[\frac{1-\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$

Ответ:

$a\in \left\{-\frac{1}{2}\right\}\cup \left[\frac{1-\sqrt{2}}{2};+\infty \right).$

Решение. Задание 18, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Это полезно