Условие задачи
Конечная возрастающая последовательность \(a_1,a_2,...,a_n\) состоит из \(n\geq 3\) различных натуральных чисел, причём при всех натуральных \(k\leq n-2\) выполнено равенство \(3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k .\)
а) Приведите пример такой последовательности при \(n=5 .\)
б) Может ли в такой последовательности при некотором \(n\geq 3\) выполняться равенство \(2a_n=3a_2-a_1\)?
в) Какое наименьшее значение может принимать \(a_1 ,\) если \(a_n=315\)?
Решение
Заметим, что равенство \(3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k\) можно переписать в виде \(3\left(a_{k+2}-a_{k+1}\right)=a_{k+1}-a_k\) и наряду с последовательностью \(a_1,a_1,...,a_n\) рассмотреть последовательность натуральных чисел \(b_1,b_2,...,b_{n-1} ,\) где \(b_k=a_{k+1}-a_k\) при \(k\leq n-1 ,\) для которой при \(k\leq n-2\) выполняется равенство \(\displaystyle b_k=3b_{k+1},b_{k+1}=\frac{1}{3}b_k ,\) т. е. \(b_1,b_2,...,b_{n-1}\) — убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем \(\displaystyle q=\frac{1}{3} .\)
а) Если \(n=5 ,\) то в последовательности \(b_1,b_2,b_3,b_4\) последний член \(\displaystyle b_4=\frac{b_1}{3^3}=\frac{b_1}{27} ,\) значит \(b_1\vdots 27 .\)
Возьмём в качестве примера \(b_1=27, \: \: b_2=9, \: \: b_3=3, \: \: b_4=1 ,\) а \(a_1=1 .\)
Тогда \(a_2=1+b_1=28, \: \: a_3=28+b_2=37,\) \( a_4=37+b_3=40, \: \: a_2=40+b_4=41.\)
Проверкой убеждаемся, что равенство \(3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k\) выполняется.
1, 28, 37, 40, 41.
б) Для последовательности \(b_1,b_2,...,b_{n-1}\)
\(\left. \begin{array}{c}
b_1=a_2-a_1, \\
b_2=a_3-a_2, \\
.................. \\
b_{n-1}=a_n-a_{n-1} \end{array}
\right|\Rightarrow b_1+b_1+...+b_1=a_n-a_1 ,\) откуда получаем
\(a_n=a_1+b_1+b_2+...+b_{n-1}=a_1+\frac{b_1\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}\textless a_1+\frac{b_1}{1-q}=\frac{3a_2-a_1}{2} ,\) т. е. \(2a_n\textless 3a_2-a_1 ,\) что противоречит равенству \(2a_n=3a_2-a_1 .\)
Нет, не может.
в) Так как \(\displaystyle a_n=a_1+b_1+b_2+...+b_{n-1}=a_1+\frac{b_1\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}=\)
\(\displaystyle a_1+\frac{b_1\left(3^{n-1}-1\right)}{2\cdot 3^{n-2}}=a_1+\frac{b_{n-1}\left(3^{n-1}-1\right)}{2}=315 ,\)
то числа \(a_1\) и 315 должны давать одинаковый остаток при делении на \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2} .\)
Рассмотрим значения \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}\) при разных n.
1) Если \(n=3 ,\) то \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^2-1}{2}=4 ,\) 315 при делении на 4 дает остаток 3.
2) Если \(n=4 ,\) то \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^3-1}{2}=13 ,\) 315 при делении на 13 дает остаток 3.
3) Если \(n=5 ,\) то \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^4-1}{2}=40 ,\) 315 при делении на 40 дает остаток 35.
4) Если \(n=6 ,\) то \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^5-1}{2}=121 ,\) 315 при делении на 121 дает остаток 73.
5) Если \(n=7 ,\) то \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^6-1}{2}=364\textgreater 315 ,\) дальше можно не проверять, так как \(\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}\leq 315 .\)
Число \(a_1\) не может быть меньше 3. Приведём пример, когда \(a_1=3 .\) Остаток 3 получился при \(n=3 ,\) значит, пробуем \(a_1=3\) и \(a_3=315 .\) Число \(a_2\) найдём из равенства \(3a_3=4a_2-a_1 ,\) получаем \(\displaystyle a_2=\frac{3\cdot 315+3}{4}=237 .\) Получили последовательность 3, 237, 315.
Ответ:
а) 1, 28, 37, 40, 41. б) Нет, не может. в) 3.
