Условие задачи
Конечная возрастающая последовательность состоит из
различных натуральных чисел, причём при всех натуральных
выполнено равенство
а) Приведите пример такой последовательности при
б) Может ли в такой последовательности при некотором выполняться равенство
?
в) Какое наименьшее значение может принимать если
?
Решение
Заметим, что равенство можно переписать в виде
и наряду с последовательностью
рассмотреть последовательность натуральных чисел
где
при
для которой при
выполняется равенство
т. е.
— убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем
а) Если то в последовательности
последний член
значит
Возьмём в качестве примера а
Тогда
Проверкой убеждаемся, что равенство выполняется.
1, 28, 37, 40, 41.
б) Для последовательности
откуда получаем
т. е.
что противоречит равенству
Нет, не может.
в) Так как
то числа и 315 должны давать одинаковый остаток при делении на
Рассмотрим значения при разных n.
1) Если то
315 при делении на 4 дает остаток 3.
2) Если то
315 при делении на 13 дает остаток 3.
3) Если то
315 при делении на 40 дает остаток 35.
4) Если то
315 при делении на 121 дает остаток 73.
5) Если то
дальше можно не проверять, так как
Число не может быть меньше 3. Приведём пример, когда
Остаток 3 получился при
значит, пробуем
и
Число
найдём из равенства
получаем
Получили последовательность 3, 237, 315.
Ответ:
а) 1, 28, 37, 40, 41. б) Нет, не может. в) 3.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 19, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 10.09.2023