previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 19, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

Конечная возрастающая последовательность a_1,a_2,...,a_n состоит из n\geq 3 различных натуральных чисел, причём при всех натуральных k\leq n-2 выполнено равенство 3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k .

а) Приведите пример такой последовательности при n=5 .

б) Может ли в такой последовательности при некотором n\geq 3 выполняться равенство 2a_n=3a_2-a_1?

в) Какое наименьшее значение может принимать a_1 , если a_n=315?

Решение

Заметим, что равенство 3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k можно переписать в виде 3\left(a_{k+2}-a_{k+1}\right)=a_{k+1}-a_k и наряду с последовательностью a_1,a_1,...,a_n рассмотреть последовательность натуральных чисел b_1,b_2,...,b_{n-1} , где b_k=a_{k+1}-a_k при k\leq n-1 , для которой при k\leq n-2 выполняется равенство \displaystyle b_k=3b_{k+1},b_{k+1}=\frac{1}{3}b_k , т. е. b_1,b_2,...,b_{n-1} — убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем \displaystyle q=\frac{1}{3} .

а) Если n=5 , то в последовательности b_1,b_2,b_3,b_4 последний член \displaystyle b_4=\frac{b_1}{3^3}=\frac{b_1}{27} , значит b_1\vdots 27 .

Возьмём в качестве примера b_1=27, \: \: b_2=9, \: \: b_3=3, \: \: b_4=1 , а a_1=1 . Тогда
a_2=1+b_1=28, \: \: a_3=28+b_2=37, a_4=37+b_3=40, \: \: a_2=40+b_4=41.

Проверкой убеждаемся, что равенство 3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k выполняется.

1, 28, 37, 40, 41.

б) Для последовательности b_1,b_2,...,b_{n-1}

\left. \begin{array}{c}b_1=a_2-a_1, \\b_2=a_3-a_2, \\.................. \\b_{n-1}=a_n-a_{n-1} \end{array}\right|\Rightarrow b_1+b_1+...+b_1=a_n-a_1 , откуда получаем

a_n=a_1+b_1+b_2+...+b_{n-1}=a_1+\frac{b_1\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}\textless a_1+\frac{b_1}{1-q}=\frac{3a_2-a_1}{2} , т. е. 2a_n\textless 3a_2-a_1 , что противоречит равенству 2a_n=3a_2-a_1 .

Нет, не может.

в) Так как \displaystyle a_n=a_1+b_1+b_2+...+b_{n-1}=a_1+\frac{b_1\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}=

\displaystyle a_1+\frac{b_1\left(3^{n-1}-1\right)}{2\cdot 3^{n-2}}=a_1+\frac{b_{n-1}\left(3^{n-1}-1\right)}{2}=315 ,

то числа a_1 и 315 должны давать одинаковый остаток при делении на \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2} .

Рассмотрим значения \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2} при разных n.

1) Если n=3 , то \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^2-1}{2}=4 , 315 при делении на 4 дает остаток 3.

2) Если n=4 , то \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^3-1}{2}=13 , 315 при делении на 13 дает остаток 3.

3) Если n=5 , то \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^4-1}{2}=40 , 315 при делении на 40 дает остаток 35.

4) Если n=6 , то \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^5-1}{2}=121 , 315 при делении на 121 дает остаток 73.

5) Если n=7 , то \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^6-1}{2}=364\textgreater 315 , дальше можно не проверять, так как \displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}\leq 315 .

Число a_1 не может быть меньше 3. Приведём пример, когда a_1=3 . Остаток 3 получился при n=3 , значит, пробуем a_1=3 и a_3=315 . Число a_2 найдём из равенства 3a_3=4a_2-a_1 , получаем \displaystyle a_2=\frac{3\cdot 315+3}{4}=237 . Получили последовательность 3, 237, 315.

Ответ:

а) 1, 28, 37, 40, 41; б) нет, не может; в) 3.