Решение. Задание 19, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Условие задачи

Конечная возрастающая последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ состоит из $n\geq 3$ различных натуральных чисел, причём при всех натуральных $k\leq n-2$ выполнено равенство $3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k .$

а) Приведите пример такой последовательности при $n=5 .$

б) Может ли в такой последовательности при некотором $n\geq 3$ выполняться равенство $2a_n=3a_2-a_1$ ?

в) Какое наименьшее значение может принимать $a_1 ,$ если $a_n=315$ ?

Решение

Заметим, что равенство $3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k$ можно переписать в виде $3\left(a_{k+2}-a_{k+1}\right)=a_{k+1}-a_k$ и наряду с последовательностью $a_1,a_1,...,a_n$ рассмотреть последовательность натуральных чисел $b_1,b_2,...,b_{n-1} ,$ где $b_k=a_{k+1}-a_k$ при $k\leq n-1 ,$ для которой при $k\leq n-2$ выполняется равенство $\displaystyle b_k=3b_{k+1},b_{k+1}=\frac{1}{3}b_k ,$ т. е. $b_1,b_2,...,b_{n-1}$ — убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $\displaystyle q=\frac{1}{3} .$

а) Если $n=5 ,$ то в последовательности $b_1,b_2,b_3,b_4$ последний член $\displaystyle b_4=\frac{b_1}{3^3}=\frac{b_1}{27} ,$ значит $b_1\vdots 27 .$

Возьмём в качестве примера $b_1=27, \: \: b_2=9, \: \: b_3=3, \: \: b_4=1 ,$ а $a_1=1 .$

Тогда $a_2=1+b_1=28, \: \: a_3=28+b_2=37,$ $a_4=37+b_3=40, \: \: a_2=40+b_4=41.$

Проверкой убеждаемся, что равенство $3a_{k+2}=4a_{k+1}-a_k$ выполняется.

1, 28, 37, 40, 41.

б) Для последовательности $b_1,b_2,...,b_{n-1}$

$\left. \begin{array}{c}b_1=a_2-a_1, \\b_2=a_3-a_2, \\.................. \\b_{n-1}=a_n-a_{n-1} \end{array}\right|\Rightarrow b_1+b_1+...+b_1=a_n-a_1 ,$ откуда получаем

$a_n=a_1+b_1+b_2+...+b_{n-1}=a_1+\frac{b_1\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}\textless a_1+\frac{b_1}{1-q}=\frac{3a_2-a_1}{2} ,$ т. е. $2a_n\textless 3a_2-a_1 ,$ что противоречит равенству $2a_n=3a_2-a_1 .$

Нет, не может.

в) Так как $\displaystyle a_n=a_1+b_1+b_2+...+b_{n-1}=a_1+\frac{b_1\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}=$

$\displaystyle a_1+\frac{b_1\left(3^{n-1}-1\right)}{2\cdot 3^{n-2}}=a_1+\frac{b_{n-1}\left(3^{n-1}-1\right)}{2}=315 ,$

то числа $a_1$ и 315 должны давать одинаковый остаток при делении на $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2} .$

Рассмотрим значения $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}$ при разных n.

1) Если $n=3 ,$ то $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^2-1}{2}=4 ,$ 315 при делении на 4 дает остаток 3.

2) Если $n=4 ,$ то $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^3-1}{2}=13 ,$ 315 при делении на 13 дает остаток 3.

3) Если $n=5 ,$ то $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^4-1}{2}=40 ,$ 315 при делении на 40 дает остаток 35.

4) Если $n=6 ,$ то $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^5-1}{2}=121 ,$ 315 при делении на 121 дает остаток 73.

5) Если $n=7 ,$ то $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}=\frac{3^6-1}{2}=364\textgreater 315 ,$ дальше можно не проверять, так как $\displaystyle \frac{3^{n-1}-1}{2}\leq 315 .$

Число $a_1$ не может быть меньше 3. Приведём пример, когда $a_1=3 .$ Остаток 3 получился при $n=3 ,$ значит, пробуем $a_1=3$ и $a_3=315 .$ Число $a_2$ найдём из равенства $3a_3=4a_2-a_1 ,$ получаем $\displaystyle a_2=\frac{3\cdot 315+3}{4}=237 .$ Получили последовательность 3, 237, 315.

Ответ:

а) 1, 28, 37, 40, 41. б) Нет, не может. в) 3.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Решение. Задание 19, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 10.09.2023

Решение. Задание 19, Тренировочная работа 29.01.20. Вариант Запад

Это полезно