Решение. Задание 13, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

а) Решите уравнение $\displaystyle {\sin \frac{7x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+{\cos \frac{7x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = {{\cos}^2 3}x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$

Решение

а) $\displaystyle {\sin \frac{7x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+{\cos \frac{7x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = {{\cos}^2 3}x.$

Левую часть преобразуем по формуле косинуса разности ${\cos \alpha }{\cos \beta }+{\sin \alpha }{\sin \beta } = {\cos \left(\alpha -\beta \right)}$ :

$\displaystyle {\cos \left(\frac{7x}{2}-\frac{x}{2}\right)} = {{\cos}^2 3}x, {\cos 3}x = {{\cos}^2 3}x, {{\cos}^2 3}x-{\cos 3}x = 0,$

${\cos 3}x\left({\cos 3}x-1\right) = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}{\cos 3}x = 0, \\{\cos 3}x = 1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}3x = \frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z, \\3x = 2\pi k,k\in Z \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},n\in Z, \\x = \frac{2\pi k}{3},k\in Z. \end{array}\right.$

б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right],$ с помощью двойных неравенств.

1) $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \: \: \: \pi\leq \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\leq \frac{3\pi}{2}.$

Сокращаем на $\pi$ и умножаем на 3:

$\displaystyle 3\leq \frac{1}{2}+n\leq \frac{9}{2}, \: \: \: 2,5\leq n\leq 4.$

Так как n — целое, то n = 3 или n = 4. Получаем $\displaystyle x_1 = \frac{\pi}{6}+\pi = \frac{7\pi}{6}$ и $\displaystyle x_2 = \frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}.$