previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 13, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

а) Решите уравнение \displaystyle {\sin \frac{7x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+{\cos \frac{7x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = {{\cos}^2 3}x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right].

Решение

а) \displaystyle {\sin \frac{7x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+{\cos \frac{7x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = {{\cos}^2 3}x.

Левую часть преобразуем по формуле косинуса разности {\cos \alpha }{\cos \beta }+{\sin \alpha }{\sin \beta } = {\cos \left(\alpha -\beta \right)}:

\displaystyle {\cos \left(\frac{7x}{2}-\frac{x}{2}\right)} = {{\cos}^2 3}x, {\cos 3}x = {{\cos}^2 3}x, {{\cos}^2 3}x-{\cos 3}x = 0,

{\cos 3}x\left({\cos 3}x-1\right) = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}{\cos 3}x = 0, \\{\cos 3}x = 1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}3x = \frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z, \\3x = 2\pi k,k\in Z \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}x = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},n\in Z, \\x = \frac{2\pi k}{3},k\in Z. \end{array}\right.

б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle \left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right], с помощью двойных неравенств.

1) \displaystyle x = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \: \: \: \pi\leq \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}\leq \frac{3\pi}{2}.

Сокращаем на \pi и умножаем на 3:

\displaystyle 3\leq \frac{1}{2}+n\leq \frac{9}{2}, \: \: \: 2,5\leq n\leq 4.

Так как n — целое, то n = 3 или n = 4. Получаем \displaystyle x_1 = \frac{\pi}{6}+\pi = \frac{7\pi}{6} и \displaystyle x_2 = \frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}.

2) \displaystyle x = \frac{2\pi k}{3}, \: \: \: \pi\leq \frac{2\pi k}{3}\leq \frac{3\pi}{2}.

Сокращаем на \pi и умножаем на \displaystyle \frac{3}{2}:

\displaystyle \frac{3}{2}\leq k\leq \frac{9}{4}, \: \: \: 1,5\leq k\leq 2,25. Получаем k = 2 и \displaystyle x = \frac{4\pi}{3}.

Ответ:

а) \displaystyle \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},n\in Z;\frac{2\pi k}{3},k\in Z; б) \displaystyle \frac{7\pi}{6};\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}.