Условие задачи
Решите неравенство: \(3^{x+3}-x^3\cdot 3^x\leq 81-3x^3.\)
Решение
\(3^{x+3}-x^3\cdot 3^x\leq 81-3x^3.\)
Перенесём в одну сторону и преобразуем:
\(3^x\cdot 3^3-x^3\cdot 3^x-3^4+3x^3\leq 0;\)
\(3^x\cdot 3^3-3\cdot 3^3-x^3\cdot 3^x+3x^3\leq 0;\)
\(3^3\left(3^x-3\right)-x^3\left(3^x-3\right)\leq 0;\)
\(\left(3^x-3\right)\left(3^3-x^3\right)\leq 0.\)
Разложим вторую скобку как разность кубов: \(\left(3^x-3\right)\left(3-x\right)\left(9+3x+x^2\right)\leq 0.\)
Для квадратного трёхчлена \(9+3x+x^2\) дискриминант \(D = 9-4\cdot 9 < 0,\) поэтому \(9+3x+x^2\) положителен для всех \(x\) и на него можно поделить обе части неравенства: \(\left(3^x-3\right)\left(3-x\right)\leq 0,\) а затем умножим на «-1»: \(\left(3^x-3\right)\left(x-3\right)\geq 0.\)
Решим это неравенство обобщённым методом интервалов, изображая на оси x точки, где каждый из множителей обращается в 0 и определяя знаки левой части на каждом из полученных интервалов.
\(3^x-3 = 0, \; x = 1\) и \(x = 3.\)
Выписываем ответ: \(x\in (-\infty ;1] \cup [3;+\infty ).\)
Ответ:
\(x\in (-\infty ;1] \cup [3;+\infty ).\)
