previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 15, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

Решите неравенство 3^{x+3}-x^3\cdot 3^x\leq 81-3x^3.

Решение

3^{x+3}-x^3\cdot 3^x\leq 81-3x^3.

Перенесём в одну сторону и преобразуем

3^x\cdot 3^3-x^3\cdot 3^x-3^4+3x^3\leq 0,

3^x\cdot 3^3-3\cdot 3^3-x^3\cdot 3^x+3x^3\leq 0,

3^3\left(3^x-3\right)-x^3\left(3^x-3\right)\leq 0,

\left(3^x-3\right)\left(3^3-x^3\right)\leq 0.

Разложим вторую скобку как разность кубов: \left(3^x-3\right)\left(3-x\right)\left(9+3x+x^2\right)\leq 0.

Для квадратного трёхчлена 9+3x+x^2 дискриминант D = 9-4\cdot 9\textless 0, поэтому 9+3x+x^2 положителен для всех x и на него можно поделить обе части неравенства: \left(3^x-3\right)\left(3-x\right)\leq 0, а затем умножим на «-1»: \left(3^x-3\right)\left(x-3\right)\geq 0.

Решим это неравенство обобщённым методом интервалов, изображая на оси x точки, где каждый из множителей обращается в 0 и определяя знаки левой части на каждом из полученных интервалов.

3^x-3 = 0,x = 1 и x = 3.

 

 

Выписываем ответ: x\in (-\infty ;1] \cup [3;+\infty ).

Ответ:

x\in (-\infty ;1] \cup [3;+\infty ).