Решение. Задание 15, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

Решите неравенство $3^{x+3}-x^3\cdot 3^x\leq 81-3x^3.$

Решение

$3^{x+3}-x^3\cdot 3^x\leq 81-3x^3.$

Перенесём в одну сторону и преобразуем

$3^x\cdot 3^3-x^3\cdot 3^x-3^4+3x^3\leq 0,$

$3^x\cdot 3^3-3\cdot 3^3-x^3\cdot 3^x+3x^3\leq 0,$

$3^3\left(3^x-3\right)-x^3\left(3^x-3\right)\leq 0,$

$\left(3^x-3\right)\left(3^3-x^3\right)\leq 0.$

Разложим вторую скобку как разность кубов: $\left(3^x-3\right)\left(3-x\right)\left(9+3x+x^2\right)\leq 0.$

Для квадратного трёхчлена $9+3x+x^2$ дискриминант $D = 9-4\cdot 9\textless 0,$ поэтому $9+3x+x^2$ положителен для всех x и на него можно поделить обе части неравенства: $\left(3^x-3\right)\left(3-x\right)\leq 0,$ а затем умножим на «-1»: $\left(3^x-3\right)\left(x-3\right)\geq 0.$

Решим это неравенство обобщённым методом интервалов, изображая на оси x точки, где каждый из множителей обращается в 0 и определяя знаки левой части на каждом из полученных интервалов.

$3^x-3 = 0,x = 1$ и $x = 3.$