Условие задачи
Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ \(AC\). Также известно, что в \(ABCD\) можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника \(ABCD\), если \(AC=26\) и \(BD=24\).
Решение
а) Так как углы \(B\) и \(D\) опираются на диаметр, то \(\angle B = \angle D = 90^{\circ}.\)
В четырёхугольник \(ABCD\) можно вписать окружность, поэтому \(AB+CD = AD+BC\) (1).
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников \(ABC\) и \(ADC\) имеем: \(AB^2+BC^2 = AD^2+CD^2\) (2).
Выразим \(BC\) из (1) и подставим в (2):
\(BC = AB+CD-AD;\)
\(AB^2+{\left(AB+CD-AD\right)}^2 = AD^2+CD^2;\)
\(AB^2+AB^2+{\underline{CD}}^2+{\underline{AD}}^2+2AB\cdot CD-2AB\cdot AD-2CD\cdot AD = {\underline{AD}}^2+{\underline{CD}}^2;\)
\(2AB^2+2AB\cdot CD-2AB\cdot AD-2CD\cdot AD = 0\left| \ :2\right.;\)
\(AB\left(AB+CD\right)-AD\left(AB+CD\right) = 0;\)
\(\left(AB-AD\right)\left(AB+CD\right) = 0.\)
Очевидно, что \(AB+CD\ne 0,\) значит, \(AB = AD.\)
Исправим чертёж с учётом последнего равенства и рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(ADC\); они равны по гипотенузе и катету, поэтому \(\angle BAC = \angle DAC, \; BC = DC.\)
Проведём диагональ \(BD: \; M = BD\cap AC.\) В равнобедренном \(\vartriangle DAB\) биссектриса \(AM\) является медианой и высотой, поэтому отрезки \(BD\) и \(AC\) перпендикулярны, что и требовалось доказать.
б) Для описанных многоугольников имеет место формула
\(S = p\cdot r,\) где \(p\) — полупериметр, а \(r\) — радиус вписанной окружности.
Площадь четырёхугольника найдём по формуле \(S_{ABCD} = \displaystyle \frac{1}{2}AC\cdot BD{\cos \angle }BMC, \; \angle BMC = 90^{\circ},\) поэтому
\(\displaystyle S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC\cdot BD = \frac{26\cdot 24}{2} = 13\cdot 24.\)
Из (а) следует, что \(AM\) — медиана, значит, \(\displaystyle DM = MB = \frac{24}{2} = 12,\) а по теореме о пересекающихся хордах \(DM\cdot MB = AM\cdot MC.\)
Обозначив \(AM\) через \(x\), получаем \(x\left(26-x\right) = 12^2\) или \(x^2-26x+144 = 0.\) Решая это уравнение, получим корни 18 и 8.
По теореме Пифагора найдём \(AB = AD = \sqrt{8^2+12^2} = 4\sqrt{2^2+3^2} = 4\sqrt{13},\) а
\(BC = DC = \sqrt{18^2+12^2} = 6\sqrt{3^2+2^2} = 6\sqrt{13}\) или наоборот.
\(p = AB+BC = 4\sqrt{13}+6\sqrt{13} = 10\sqrt{13}.\) Остаётся найти \(r:\)
\(\displaystyle r = \frac{S_{ABCD}}{p} = \frac{13\cdot 24}{10\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{5}.\)
Ответ:
б) \(\displaystyle \frac{12\sqrt{13}}{5}.\)
