previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.

Решение

а) Так как углы B и D опираются на диаметр, то \angle B = \angle D = 90^{\circ}.

 

 

В четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, поэтому

AB+CD = AD+BC (1).

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC и ADC имеем:

AB^2+BC^2 = AD^2+CD^2 (2).

Выразим BC из (1) и подставим в (2):

BC = AB+CD-AD,

AB^2+{\left(AB+CD-AD\right)}^2 = AD^2+CD^2,

AB^2+AB^2+{\underline{CD}}^2+{\underline{AD}}^2+2AB\cdot CD-2AB\cdot AD-2CD\cdot AD = {\underline{AD}}^2+{\underline{CD}}^2.

2AB^2+2AB\cdot CD-2AB\cdot AD-2CD\cdot AD = 0\left| \ :2\right.,

AB\left(AB+CD\right)-AD\left(AB+CD\right) = 0,

\left(AB-AD\right)\left(AB+CD\right) = 0.

Очевидно, что AB+CD\ne 0, значит, AB = AD.

Исправим чертёж с учётом последнего равенства и рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC; они равны по гипотенузе и катету, поэтому \angle BAC = \angle DAC, BC = DC.

 

 

Проведём диагональ BD: M = BD\cap AC. В равнобедренном \vartriangle DAB биссектриса AM является медианой и высотой, поэтому отрезки BD и AC перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б) Для описанных многоугольников имеет место формула

S = p\cdot r, где p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности.

Площадь четырёхугольника найдём по формуле S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC\cdot BD{\cos \angle }BMC, \angle BMC = 90^{\circ}, поэтому

\displaystyle S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC\cdot BD = \frac{26\cdot 24}{2} = 13\cdot 24.

Из а) следует, что AM — медиана, значит, \displaystyle DM = MB = \frac{24}{2} = 12, а по теореме о пересекающихся хордах DM\cdot MB = AM\cdot MC. Обозначив AM через x, получаем x\left(26-x\right) = 12^2 или x^2-26x+144 = 0. Решая это уравнение, получим корни 18 и 8.

По теореме Пифагора найдём AB = AD = \sqrt{8^2+12^2} = 4\sqrt{2^2+3^2} = 4\sqrt{13}, а BC = DC = \sqrt{18^2+12^2} = 6\sqrt{3^2+2^2} = 6\sqrt{13} или наоборот.

p = AB+BC = 4\sqrt{13}+6\sqrt{13} = 10\sqrt{13}. Остаётся найти r

\displaystyle r = \frac{S_{ABCD}}{p} = \frac{13\cdot 24}{10\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{5}.

Ответ:

б) \displaystyle \frac{12\sqrt{13}}{5}.