Решение. Задание 16, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.

а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.

Решение

а) Так как углы B и D опираются на диаметр, то $\angle B = \angle D = 90^{\circ}.$

В четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, поэтому

$AB+CD = AD+BC$ (1).

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC и ADC имеем:

$AB^2+BC^2 = AD^2+CD^2$ (2).

Выразим BC из (1) и подставим в (2):

$BC = AB+CD-AD,$

$AB^2+{\left(AB+CD-AD\right)}^2 = AD^2+CD^2,$

$AB^2+AB^2+{\underline{CD}}^2+{\underline{AD}}^2+2AB\cdot CD-2AB\cdot AD-2CD\cdot AD = {\underline{AD}}^2+{\underline{CD}}^2,$

$2AB^2+2AB\cdot CD-2AB\cdot AD-2CD\cdot AD = 0\left| \ :2\right.,$

$AB\left(AB+CD\right)-AD\left(AB+CD\right) = 0,$

$\left(AB-AD\right)\left(AB+CD\right) = 0.$

Очевидно, что $AB+CD\ne 0,$ значит, $AB = AD.$

Исправим чертёж с учётом последнего равенства и рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC; они равны по гипотенузе и катету, поэтому $\angle BAC = \angle DAC,$ $BC = DC.$

Проведём диагональ BD: $M = BD\cap AC.$ В равнобедренном $\vartriangle DAB$ биссектриса AM является медианой и высотой, поэтому отрезки BD и AC перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б) Для описанных многоугольников имеет место формула

$S = p\cdot r,$ где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Площадь четырёхугольника найдём по формуле $S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC\cdot BD{\cos \angle }BMC,$ $\angle BMC = 90^{\circ},$ поэтому

$\displaystyle S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC\cdot BD = \frac{26\cdot 24}{2} = 13\cdot 24.$

Из а) следует, что AM — медиана, значит, $\displaystyle DM = MB = \frac{24}{2} = 12,$ а по теореме о пересекающихся хордах $DM\cdot MB = AM\cdot MC.$ Обозначив AM через x, получаем $x\left(26-x\right) = 12^2$ или $x^2-26x+144 = 0.$ Решая это уравнение, получим корни 18 и 8.

По теореме Пифагора найдём $AB = AD = \sqrt{8^2+12^2} = 4\sqrt{2^2+3^2} = 4\sqrt{13},$ а $BC = DC = \sqrt{18^2+12^2} = 6\sqrt{3^2+2^2} = 6\sqrt{13}$ или наоборот.

$p = AB+BC = 4\sqrt{13}+6\sqrt{13} = 10\sqrt{13}.$ Остаётся найти $r$ :

$\displaystyle r = \frac{S_{ABCD}}{p} = \frac{13\cdot 24}{10\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{5}.$

Ответ:

б) $\displaystyle \frac{12\sqrt{13}}{5}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа 30.09.20» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Решение. Задание 16, Тренировочная работа 30.09.20

Это полезно