Условие задачи
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.
Решение
а) Так как углы B и D опираются на диаметр, то
В четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, поэтому
(1).
По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC и ADC имеем:
(2).
Выразим BC из (1) и подставим в (2):
Очевидно, что значит,
Исправим чертёж с учётом последнего равенства и рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC; они равны по гипотенузе и катету, поэтому
Проведём диагональ BD: В равнобедренном
биссектриса AM является медианой и высотой, поэтому отрезки BD и AC перпендикулярны, что и требовалось доказать.
б) Для описанных многоугольников имеет место формула
где
— полупериметр, а
— радиус вписанной окружности.
Площадь четырёхугольника найдём по формуле
поэтому
Из а) следует, что AM — медиана, значит, а по теореме о пересекающихся хордах
Обозначив AM через x, получаем
или
Решая это уравнение, получим корни 18 и 8.
По теореме Пифагора найдём а
или наоборот.
Остаётся найти
:
Ответ:
б)
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Решение. Задание 16, Тренировочная работа 30.09.20» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 07.09.2023