Условие задачи
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,25 млн руб.?
Решение
Будем вести вычисления в млн. рублей, введем \(\displaystyle k = 1+\frac{15}{100} = 1,15\) — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов. Долг равномерно уменьшается в течение \(n\) лет, т. е. через год он становится меньше на \(\displaystyle \frac{1}{n},\) через 2 — на \(\displaystyle \frac{2}{n}, \dots ,\) через \(n-1\) — на \(\displaystyle \frac{n-1}{n},\) а через \(n\) лет становится равным 0, т. е. кредит будет погашен полностью.
Рисуем схему погашения кредита.
Обозначим ежегодные выплаты \(z_1,z_2,...,z_n,\) найдём \(z_1\) и \(z_2\) и сравним их:
\(\displaystyle z_1 = Sk-S\cdot \frac{n-1}{n} = S\left(k-\frac{n-1}{n}\right),\)
\(\displaystyle z_2 = Sk\cdot \frac{n-1}{n}-S\cdot \frac{n-2}{n} = S\left(k\cdot \frac{n-1}{n}-\frac{n-2}{n}\right),\)
\(\displaystyle z_1-z_2 = S\left(\left(k-\frac{n-1}{n}\right)-\left(k\cdot \frac{n-1}{n}-\frac{n-2}{n}\right)\right) = \displaystyle S\left(k-\frac{n-1}{n}-k\cdot \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}\right) =\)
\(= S\left(k\left(1-\displaystyle \frac{n-1}{n}\right)-\displaystyle \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}\right) =\displaystyle S\left(\frac{k}{n}-\frac{1}{n}\right) = \frac{S}{n}\left(k-1\right)>0,\) так как \(\displaystyle k = \left(1+\frac{p}{100}\right)>1,\)
где \(p\) — процент, начисляемый банком. Мы видим, что в случае равномерного уменьшения суммы долга первая выплата больше второй.
Рассуждая аналогично, получим, что \(z_2> z_3, \; z_3> z_4, \; ..., \; z_{n-1}> z_n.\) Таким образом получаем, что первая выплата является наибольшей.
Найдём, при каком \(n\) она не превышает 1,25.
\(\displaystyle z_1\leq 1,25, \: z_1\leq \frac{5}{4}, \: S\left(k-\frac{n-1}{n}\right)\leq \frac{5}{4}, \: \displaystyle 4\cdot \left(1,15-\frac{n-1}{n}\right)\leq \frac{5}{4}, \: 0,15+\frac{1}{n}\leq \frac{5}{16}, \; \displaystyle \frac{1}{n}\leq \frac{65}{400}, \; \frac{1}{n}\leq \frac{13}{80}, \)
откуда \(\displaystyle n\geq \frac{80}{13}, \ n\geq 6\frac{2}{13}.\) Поэтому наименьший срок равняется 7 годам.
Ответ:
7 лет.
