Решение. Задание 17, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,25 млн руб.?

Решение

Будем вести вычисления в млн. рублей, введем $\displaystyle k = 1+\frac{15}{100} = 1,15$ — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов. Долг равномерно уменьшается в течение n лет, т. е. через год он становится меньше на $\displaystyle \frac{1}{n},$ через 2 — на $\displaystyle \frac{2}{n}, \dots ,$ через n-1 — на $\displaystyle \frac{n-1}{n},$ а через n лет становится равным 0, т. е. кредит будет погашен полностью.

Рисуем схему погашения кредита.

Обозначим ежегодные выплаты $z_1,z_2,...,z_n,$ найдём $z_1$ и $z_2$ и сравним их:

$\displaystyle z_1 = Sk-S\cdot \frac{n-1}{n} = S\left(k-\frac{n-1}{n}\right),$

$\displaystyle z_2 = Sk\cdot \frac{n-1}{n}-S\cdot \frac{n-2}{n} = S\left(k\cdot \frac{n-1}{n}-\frac{n-2}{n}\right),$

$\displaystyle z_1-z_2 = S\left(\left(k-\frac{n-1}{n}\right)-\left(k\cdot \frac{n-1}{n}-\frac{n-2}{n}\right)\right) =$ $\displaystyle S\left(k-\frac{n-1}{n}-k\cdot \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}\right) = S\left(k\left(1-\frac{n-1}{n}\right)-\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}\right) =$ $\displaystyle S\left(\frac{k}{n}-\frac{1}{n}\right) = \frac{S}{n}\left(k-1\right)\textgreater 0,$

так как $\displaystyle k = \left(1+\frac{p}{100}\right)\textgreater 1,$ где p — процент, начисляемый банком. Мы видим, что в случае равномерного уменьшения суммы долга первая выплата больше второй. Рассуждая аналогично, получим, что $z_2\textgreater z_3,z_3\textgreater z_4,...,z_{n-1}\textgreater z_n.$ Таким образом получаем, что первая выплата является наибольшей.

Найдём, при каком n она не превышает 1,25.

$\displaystyle z_1\leq 1,25, \: \: z_1\leq \frac{5}{4}, \: \: S\left(k-\frac{n-1}{n}\right)\leq \frac{5}{4},$ $\displaystyle 4\cdot \left(1,15-\frac{n-1}{n}\right)\leq \frac{5}{4}, \: \: 0,15+\frac{1}{n}\leq \frac{5}{16},$ $\displaystyle \frac{1}{n}\leq \frac{65}{400}, \ \frac{1}{n}\leq \frac{13}{80},$

откуда $\displaystyle n\geq \frac{80}{13}, \ n\geq 6\frac{2}{13}.$ Поэтому наименьший срок равняется 7 годам.

Ответ:

7 лет.

Решение. Задание 17, Тренировочная работа 30.09.20

Это полезно