Условие задачи
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,25 млн руб.?
Решение
Будем вести вычисления в млн. рублей, введем — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов. Долг равномерно уменьшается в течение n лет, т. е. через год он становится меньше на
через 2 — на
через n-1 — на
а через n лет становится равным 0, т. е. кредит будет погашен полностью.
Рисуем схему погашения кредита.
Обозначим ежегодные выплаты найдём
и
и сравним их:
так как где p — процент, начисляемый банком. Мы видим, что в случае равномерного уменьшения суммы долга первая выплата больше второй. Рассуждая аналогично, получим, что
Таким образом получаем, что первая выплата является наибольшей.
Найдём, при каком n она не превышает 1,25.
откуда Поэтому наименьший срок равняется 7 годам.
Ответ:
7 лет.