previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 17, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,25 млн руб.?

Решение

Будем вести вычисления в млн. рублей, введем \displaystyle k = 1+\frac{15}{100} = 1,15 — коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов. Долг равномерно уменьшается в течение n лет, т. е. через год он становится меньше на \displaystyle \frac{1}{n}, через 2 — на \displaystyle \frac{2}{n}, \dots , через n-1 — на \displaystyle \frac{n-1}{n}, а через n лет становится равным 0, т. е. кредит будет погашен полностью.

Рисуем схему погашения кредита.

 

 

Обозначим ежегодные выплаты z_1,z_2,...,z_n, найдём z_1 и z_2 и сравним их:

\displaystyle z_1 = Sk-S\cdot \frac{n-1}{n} = S\left(k-\frac{n-1}{n}\right),

\displaystyle z_2 = Sk\cdot \frac{n-1}{n}-S\cdot \frac{n-2}{n} = S\left(k\cdot \frac{n-1}{n}-\frac{n-2}{n}\right),

\displaystyle z_1-z_2 = S\left(\left(k-\frac{n-1}{n}\right)-\left(k\cdot \frac{n-1}{n}-\frac{n-2}{n}\right)\right) = \displaystyle S\left(k-\frac{n-1}{n}-k\cdot \frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}\right) = S\left(k\left(1-\frac{n-1}{n}\right)-\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}\right) = \displaystyle S\left(\frac{k}{n}-\frac{1}{n}\right) = \frac{S}{n}\left(k-1\right)\textgreater 0,

так как \displaystyle k = \left(1+\frac{p}{100}\right)\textgreater 1, где p — процент, начисляемый банком. Мы видим, что в случае равномерного уменьшения суммы долга первая выплата больше второй. Рассуждая аналогично, получим, что z_2\textgreater z_3,z_3\textgreater z_4,...,z_{n-1}\textgreater z_n. Таким образом получаем, что первая выплата является наибольшей.

Найдём, при каком n она не превышает 1,25.

\displaystyle z_1\leq 1,25, \: \: z_1\leq \frac{5}{4}, \: \: S\left(k-\frac{n-1}{n}\right)\leq \frac{5}{4}, \displaystyle 4\cdot \left(1,15-\frac{n-1}{n}\right)\leq \frac{5}{4}, \: \: 0,15+\frac{1}{n}\leq \frac{5}{16}, \displaystyle \frac{1}{n}\leq \frac{65}{400}, \ \frac{1}{n}\leq \frac{13}{80},

откуда \displaystyle n\geq \frac{80}{13}, \ n\geq 6\frac{2}{13}. Поэтому наименьший срок равняется 7 годам.

Ответ:

7 лет.