Условие задачи
Вариант Восток
Найдите все значения \(a\), при которых система\(\left\{ \begin{array}{c}
\left({\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2\right)\left({\left(x-4\right)}^2+{\left(y-16\right)}^2\right)\leq 0; \\
{\left(x-a-1\right)}^2+{\left(y-2a-2\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2 \end{array}
\right.\) имеет ровно 2 решения.
Решение
\(\left\{ \begin{array}{c}
\left({\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2\right)\left({\left(x-4\right)}^2+{\left(y-16\right)}^2\right)\leq 0, \\
{\left(x-a-1\right)}^2+{\left(y-2a-2\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2. \end{array}
\right.\)
Рассмотрим первое неравенство, не содержащее параметра \(a\). Каждый из множителей первой части имеет вид суммы квадратов, а значит, не может быть отрицательным, т. е. \({\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2\geq 0\) и \({\left(x-4\right)}^2+{\left(y-16\right)}^2\geq 0.\) Произведение их будет неотрицательным тогда и только тогда, когда
\(\left[ \begin{array}{c}
{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2 = 0, \\
{\left(x-4\right)}^2+{\left(y-16\right)}^2 = 0, \end{array}
\right.\) т. е. \(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x = 1, \\
y = 4, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x = 4, \\
y = 16. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
Подставим найденные значения во второе неравенство и система примет вид:
\(\left[ \begin{array}{c}
\left\{ \begin{array}{c}
x = 1, \\
y = 4, \\
a^2+{\left(2-2a\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2, \end{array}
\right. \\
\left\{ \begin{array}{c}
x = 4, \\
y = 16, \\
{\left(a-3\right)}^2+{\left(14-2a\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2. \end{array}
\right. \end{array}
\right.\)
1) Решим первую систему.
\(\left\{ \begin{array}{c}
x = 1, \\
y = 4, \\
a^2+{\left(2-2a\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2. \end{array}
\right.\)
Преобразуем неравенство \(a^2+{\left(2-2a\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2,\)
\(a^2+{\underline{4a}}^2-8a+\underline{4}\leq {\underline{4a}}^2+8a+\underline{4}, \; a^2-16a\leq 0, \; a\left(a-16\right)\leq 0.\)
На отрезке \(\left[0;16\right]\) наше неравенство, а значит, и система, будет иметь 1 решение, а вне его, т. е. на множестве \(\left(-\infty ;0\right)\cup \left(16;+\infty \right)\), решений не будет.
2) Решим вторую систему.
\(\left\{ \begin{array}{c}
x = 4, \\
y = 16, \\
{\left(a-3\right)}^2+{\left(14-2a\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2. \end{array}
\right.\)
Преобразуем неравенство \({\left(a-3\right)}^2+{\left(14-2a\right)}^2\leq 4{\left(a+1\right)}^2,\)
\(a^2-6a+9+{\underline{4a}}^2-56a+196\leq {\underline{4a}}^2+8a+4,\)
\(a^2-70a+201\leq 0, \ \left(a-3\right)\left(a-67\right)\leq 0.\)
На отрезке \(\left[3;67\right]\) наше неравенство, а значит, и система, будет иметь 1 решение, а вне его, т. е. на множестве \(\left(-\infty ;3\right)\cup \left(67;+\infty \right)\), решений не будет.
Найдём множество значений \(a\), на котором обе системы будут иметь по одному решению, эти решения не совпадают, мы их знаем \(\left(1;4\right),\left(4;16\right).\)
Получили множество \(\left[3;67\right].\)
Ответ:
\(\left[3;67\right].\)
