Условие задачи
Вариант Восток
Найдите все значения a, при которых система
имеет ровно 2 решения.
Решение
Рассмотрим первое неравенство, не содержащее параметра a. Каждый из множителей первой части имеет вид суммы квадратов, а значит, не может быть отрицательным, т. е. и
Произведение их будет неотрицательным тогда и только тогда, когда
т. е.
Подставим найденные значения во второе неравенство и система примет вид:
1) Решим первую систему.
Преобразуем неравенство
На отрезке наше неравенство, а значит и система будет иметь 1 решение, а вне его, т. е. на множестве
решений не будет.
2) Решим вторую систему.
Преобразуем неравенство
На отрезке наше неравенство, а значит и система будет иметь 1 решение, а вне его, т. е. на множестве
решений не будет.
Найдём множество значений a, на котором обе системы будут иметь по одному решению, эти решения не совпадают, мы их знаем
Получили множество
Ответ: