Условие задачи
а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 250?
б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 8750?
в) Найдите все такие натуральные числа \(n\), что каждое из чисел \(n, \; n+1, \; n+2\) трёхзначное, а десятичная запись их произведения оканчивается на 4000.
Решение
а) Рассмотрим числа \(n, \; n+1, \; n+2.\) Предположим, что их произведение оканчивается на 250, тогда
\(\underbrace{n\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)}_{a_1\cdot a_2\cdot a_3} = 1000A+250 = 250\left(4A+1\right) = 2\cdot 125\cdot \left(4A+1\right) = 2\cdot 5^3\cdot \left(4A+1\right).\)
В разложении на множители только одна двойка, значит, только один из сомножителей является чётным, им может быть только \(a_2.\) Из трёх последовательных чисел только одно может делиться на 5, оно же в нашем случае должно делиться и на 125.
125 — самое маленькое из трёхзначных чисел, делящихся на 125.
Пусть \(a_1 = 125, \; a_2 = 126, \; a_3 = 127,\) тогда их произведение \(\Pi = 2000250,\) что удовлетворяет условию задачи.
Да, может.
б) Аналогично случаю (а) предположим, что такое произведение оканчивается на 8750:
\(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}=10000A+8750=125(80A+70)=5^{4}\cdot 2\cdot \underset{нечетное}{\underbrace{(8A+7)}}.\)
Тогда \(a_2\vdots 2\) и не делится на 4, а \(a_1\) и \(a_3\) — нечетные, только одно может делиться на \(5^{4}=625.\) Из трёхзначных чисел только 625 делится на 625. Рассмотрим два случая.
1) \(a_1 = 625, \; a_2 = 626, \; a_3 = 627, \; \Pi = 245313750\) не подходит.
2) \(a_3 = 625, \; a_2 = \underbrace{624}_{\vdots 4}, \; a_1 = 623\) не подходит, так как 624 делится на 4.
Нет, не может.
в) Пусть \(a_1\cdot a_2\cdot a_3 = 10000A+4000 = 2000\left(5A+2\right) = 5^3\cdot 2^4\cdot \left(5A+2\right).\) Одно из чисел делится на 125. Рассмотрим разные случаи, помня, что произведение \(\Pi\) должно делиться на \(16=2^4\) и не должно делиться на большую степень двойки. Степень двойки легко находится для каждого сомножителя.
1)
| 125 | 126 | 127 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 124 | 125 | 126 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 123 | 124 | 125 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) |
2)
| 250 | 251 | 252 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 249 | 250 | 251 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 248 | 249 | 250 | \(\Pi \vdots 16 = 2^4\) | \(\Pi\)=15438000 |
3)
| 375 | 376 | 377 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 374 | 375 | 376 | \(\Pi \vdots 16 = 2^4\) | \(\Pi\)=52734000 |
| 373 | 374 | 375 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) |
4)
| 500 | 501 | 502 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 499 | 500 | 501 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 498 | 499 | 500 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) |
5) Одно из чисел делится на 625. Можно не проверять, так как \(625 = 5^4.\)
6)
| 750 | 751 | 752 | \(\Pi \vdots 16 = 2^4\) | \(\Pi\)=423564000 |
| 749 | 750 | 751 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 748 | 749 | 750 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) |
7)
| 875 | 876 | 877 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 874 | 875 | 876 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) | |
| 873 | 874 | 875 | \(\Pi \; не \; \vdots 16=2^{4}\) |
Больше трехзначных чисел, кратных 125, нет. Получили \(n = 374, \; n = 750.\)
Ответ:
а) Да, может. б) Нет, не может. в) \( n = 374, \; n = 750.\)
