previous arrow
next arrow
Slider

Решение. Задание 19, Тренировочная работа 30.09.20

Условие задачи

а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 250?

б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 8750?

в) Найдите все такие натуральные числа n, что каждое из чисел n, n+1, n+2 трёхзначное, а десятичная запись их произведения оканчивается на 4000.

Решение

а) Рассмотрим числа n,n+1,n+2. Предположим, что их произведение оканчивается на 250, тогда \underbrace{n\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n+2\right)}_{a_1\cdot a_2\cdot a_3} = 1000A+250 = 250\left(4A+1\right) =

= 2\cdot 125\cdot \left(4A+1\right) = 2\cdot 5^3\cdot \left(4A+1\right).

В разложении на множители только одна двойка, значит, только один из сомножителей является чётным, им может быть только a_2. Из трёх последовательных чисел только одно может делиться на 5, оно же в нашем случае должно делиться и на 125.

125 — самое маленькое из трёхзначных чисел, делящихся на 125.

Пусть a_1 = 125,a_2 = 126,a_3 = 127, тогда их произведение \Pi = 2000250, что удовлетворяет условию задачи.

Да, может.

б) Аналогично случаю а) предположим, что такое произведение оканчивается на 8750

Тогда a_2\vdots 2 и не делится на 4, а a_1 и a_3 — нечетные, только одно может делиться на 5^{4}=625. Из трёхзначных чисел только 625 делится на 625. Рассмотрим два случая.

1) a_1 = 625,a_2 = 626,a_3 = 627, \ \Pi = 245313750 не подходит.

2) a_3 = 625,a_2 = \underbrace{624}_{\vdots 4},a_1 = 623 не подходит, так как 624 делится на 4.

Нет, не может.

в) Пусть a_1\cdot a_2\cdot a_3 = 10000A+4000 = 2000\left(5A+2\right) = 5^3\cdot 2^4\cdot \left(5A+2\right). Одно из чисел делится на 125. Рассмотрим разные случаи, помня, что произведение \Pi должно делиться на 16=2^4 и не должно делиться на большую степень двойки. Степень двойки легко находится для каждого сомножителя.

1)

125 126 127
124 125 126
123 124 125

2)

250 251 252
249 250 251
248 249 250 \Pi \vdots 16 = 2^4 \Pi=15438000

3)

375 376 377
374 375 376 \Pi \vdots 16 = 2^4 \Pi=52734000
373 374 375

4)

500 501 502
499 500 501
498 499 500

5) Одно из чисел делится на 625. Можно не проверять, так как 625 = 5^4.

6)

750 751 752 \Pi \vdots 16 = 2^4 \Pi=423564000
749 750 751
748 749 750

7)

875 876 877
874 875 876
873 874 875

Больше трехзначных чисел, кратных 125, нет. Получили n = 374, n = 750.

Ответ:

а) да, может, б) нет, не может, в) n = 374, n = 750.