Видеоразбор варианта:
Задача №18
На доске разрешается написать n таких попарно различных натуральных чисел
\(a_1, a_2, \dots , a_n\), для которых при каждом натуральном числе \(k = 2, \dots , n - 1\) выполнено
равенство \(\displaystyle a_{k+1} = \frac{a_k+a_{k-1}}{2}.\)
а) Можно ли при \(n = 4\) написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось
равенство \(a_4 = 2021?\)
б) Можно ли при \(n = 100\) написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось
неравенство \(\left|a_2 - a_1 \right| \textless 2021\)?
в) При \(n = 10\) на доске написаны такие числа. Какое наименьшее значение может
принимать \(a_{10}\)?
Решение:
a) Да, можно. Пример: числа 7958, 42, 4000, 2021.
Здесь \(\displaystyle 4000=\frac{7958+42}{2}; 2021=\frac{42+4000}{2}.\)
Как получен пример?
Поскольку \(\displaystyle a_{k+1}=\frac{a_{k-1}+a_k}{2},\)
\(\displaystyle a_4=\frac{a_2+a_3}{2}\Rightarrow 2a_4=2\cdot 2021=a_2+a_3.\)
Возьмем \(a_2=42, a_3=4000\). Из равенства \(2a_3=a_1+a_2\) найдем \(a_1=7958.\)
Возможны и другие примеры.
б) \(n=100;\) предположим, что \(\left|a_2-a_1\right|\textless 2021.\)
Найдем, насколько отличаются соседние члены последовательности \(a_{k+1}\) и \(a_k.\)
\(\displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k+a_{k-1}}{2};\)
\(\displaystyle a_{k+1}-\frac{a_k}{2}=\frac{a_{k-1}}{2}.\)
Вычитая из общих частей равенства \(\displaystyle \frac{a_k}{2},\) получим:
\(\displaystyle a_{k+1}-a_k=\frac{a_{k-1}-a_k}{2}.\)
Это значит, что каждая следующая разность между членами последовательности в 2 раза меньше предыдущей по модулю и противоположна предыдущей по знаку.
Тогда \(\displaystyle \left|a_3-a_2\right|=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2};\)
\(\displaystyle \left|a_4-a_3\right|=\frac{\left|a_3-a_2\right|}{2}=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{4}=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2^2}\)
\(\dots \)
\(\displaystyle \left|a_{100}-a_{99}\right|=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2^{98}}.\)
Так как члены прогрессии – различные натуральные числа, \(\left|a_{100}-a_{99}\right|\ge 1.\) По условию, \(\left|a_2-a_1\right|\textless \ 2021.\)
Получим:
\(\displaystyle 1\le \left|a_{100}-a_{99}\right|=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2^{98}}\textless \frac{2021}{2^{98}};\)
Отсюда \(2^{98\ }\textless 2021\) – противоречие, т.к. \(2^{11}=2048\textgreater 2021.\)
в) Пусть \(n=10.\)
\(a_{10}=a_{10}-a_9+a_9-a_8+a_8-a_7+\dots +a_3-a_2+a_2-a_1+a_1. (1)\)
(Мы прибавили и вычли числа \(a_9,\ a_8\dots \ a_1)\).
Так как
\(\displaystyle a_{k+1}-a_k=\frac{a_{k-1}-a_k}{2},\)
выразим все разности между соседними членами последовательности через \(a_1\) и \(a_2.\)
\(\displaystyle a_3-a_2=-\frac{a_2-a_1}{2}=\frac{a_1-a_2}{2},\)
\(\displaystyle a_4-a_3=\frac{a_2-a_1}{2^2},\)
\(\displaystyle a_5-a_4=\frac{a_1-a_2}{2^3},\)
\(\displaystyle a_6-a_5=\frac{a_2-a_1}{2^4},\)
\(\displaystyle a_7-a_6=\frac{a_1-a_2}{2^5},\)
\(\displaystyle a_8-a_7=\frac{a_2-a_1}{2^6},\)
\(\displaystyle a_9-a_8=\frac{a_1-a_2}{2^7},\)
\(\displaystyle a_{10}-a_9=\frac{a_2-a_1}{2^8}.\)
Подставим значения этих разностей в равенство (1):
\(\displaystyle a_{10}=\frac{a_2-a_1}{2^8}+\frac{a_1-a_2}{2^7}+\frac{a_2-a_1}{2^6}+\frac{a_1-a_2}{2^5}+\frac{a_2-a_1}{2^4}+\)
\(\displaystyle +\frac{a_1-a_2}{2^3}+\frac{a_2-a_1}{2^2}+\frac{a_1-a_2}{2}+a_2-a_1+a_1=\)
\(\displaystyle =\left(a_2-a_1\right)\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}-\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}\right)+a_1.\)
Выражение во второй скобке – это сумма геометрической прогрессии, в которой \(\displaystyle b_1=1,\; q=-\frac{1}{2}, \; n=9.\)
Вычислим ее по формуле \(\displaystyle S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}.\)
\(\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\dots +\frac{1}{2^8}=\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^9-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)-1}=\frac{\left(\frac{1}{2^9}+1\right)\cdot 2}{3}=\frac{\left(\frac{1}{2^8}+2\right)}{3}=\)
\(\displaystyle =\frac{1+2^9}{2^8\cdot 3}=\frac{1+512}{256\cdot 3}=\frac{513}{256\cdot 3}=\frac{171}{256}.\)
Тогда \(\displaystyle a_{10}=\frac{171}{256}\left(a_2-a_1\right)+a_1.\)
Это значит, что \(\left(a_2-a_1\right)\vdots 256,\) поскольку \(a_{10}\) – целое. Значит, \(\left |a_2-a_1 \right | \ge 256. \)
1) Пусть \(a_2-a_1\textgreater 0.\) Тогда
\(\displaystyle a_{10}=\frac{171}{256}\left(a_2-a_1\right)+a_1\ge \frac{171}{256}\cdot 256+a_1=171+a_1.\)
Так как \(a_1\ge 1,\; a_{10}\ge 171+1=172.\)
2) Если \(a_2-a_1\textless 0,\) получим, что \(a_2-a_1\le -256,\)
\(\displaystyle a_{10}=\frac{171}{256}\left(a_2-a_1\right)+a_1=a_1\left(1-\frac{171}{256}\right)+\frac{171}{256}a_2=\)
\(\displaystyle =\frac{85}{256}a_1+\frac{171}{256}a_2=\frac{85}{256}a_1-\frac{85}{256}a_2+a_2=\frac{85}{256}\left(a_1-a_2\right)+a_2;\)
Поскольку \(a_{10}\) – целое, \(\displaystyle \left(a_1-a_2\right)\vdots 256; \; a_1-a_2\ge 256,\)
тогда \(\displaystyle a_{10} \ge \frac{85}{256} \cdot 256 +a_2 \ge 85+1;\)
\(a_{10}\ge 86\) – оценка.
Чтобы подобрать пример, рассмотрим случай \(a_2-a_1\textless 0,\) то есть \(a_1\textgreater a_2.\)
Возьмём \(a_2=1,\ a_1-a_2=256,\) тогда \(\displaystyle a_1=257; a_3=\frac{257+1}{2}=129.\)
Получим последовательность:
\(257;\ 1;\ 129;\ 65;\ 97;\ 81;\ 89;\ 85;\ 87;\ 86.\)
\(a_{10}=86.\)
Ответ: 86.
