Видеоразбор варианта:
Задача №18
На доске разрешается написать n таких попарно различных натуральных чисел
, для которых при каждом натуральном числе
выполнено
равенство
а) Можно ли при написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось
равенство
б) Можно ли при написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось
неравенство ?
в) При на доске написаны такие числа. Какое наименьшее значение может
принимать ?
Решение:
a) Да, можно. Пример: числа 7958, 42, 4000, 2021.
Здесь
Как получен пример?
Поскольку
Возьмем . Из равенства
найдем
Возможны и другие примеры.
б) предположим, что
Найдем, насколько отличаются соседние члены последовательности и
Вычитая из общих частей равенства получим:
Это значит, что каждая следующая разность между членами последовательности в 2 раза меньше предыдущей по модулю и противоположна предыдущей по знаку.
Тогда
Так как члены прогрессии – различные натуральные числа, По условию,
Получим:
Отсюда – противоречие, т.к.
в) Пусть
(Мы прибавили и вычли числа .
Так как
выразим все разности между соседними членами последовательности через и
Подставим значения этих разностей в равенство (1):
Выражение во второй скобке – это сумма геометрической прогрессии, в которой
Вычислим ее по формуле
Тогда
Это значит, что поскольку
– целое. Значит,
1) Пусть Тогда
Так как
2) Если получим, что
Поскольку – целое,
тогда
– оценка.
Чтобы подобрать пример, рассмотрим случай то есть
Возьмём тогда
Получим последовательность:
Ответ: 86.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренировочная работа от 28.09.2021, Статград. Задача №18 (Числа и их свойства)» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 07.06.2023