previous arrow
next arrow
Slider

Тренировочная работа от 28.09.2021, Статград. Задача №18 (Числа и их свойства)

Видеоразбор варианта:


Задача №18

На доске разрешается написать n таких попарно различных натуральных чисел
a_1, a_2, \dots , a_n, для которых при каждом натуральном числе k = 2, \dots , n - 1 выполнено
равенство \displaystyle a_{k+1} = \frac{a_k+a_{k-1}}{2}.

а) Можно ли при n = 4 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось
равенство a_4 = 2021?

б) Можно ли при n = 100 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось
неравенство \left|a_2 - a_1 \right| \textless 2021?

в) При n = 10 на доске написаны такие числа. Какое наименьшее значение может
принимать a_{10}?

Решение:

a) Да, можно. Пример: числа 7958, 42, 4000, 2021.

Здесь \displaystyle 4000=\frac{7958+42}{2}; 2021=\frac{42+4000}{2}.

Как получен пример?

Поскольку \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_{k-1}+a_k}{2},
\displaystyle a_4=\frac{a_2+a_3}{2}\Rightarrow 2a_4=2\cdot 2021=a_2+a_3;
Возьмем a_2=42, a_3=4000,. Из равенства 2a_3=a_1+a_2 найдем a_1=7958.

Возможны и другие примеры.

б) n=100; предположим, что \left|a_2-a_1\right|\textless 2021

Найдем, насколько отличаются соседние члены последовательности a_{k+1} и a_k.
\displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k+a_{k-1}}{2}
\displaystyle a_{k+1}-\frac{a_k}{2}=\frac{a_{k-1}}{2}
Вычитая из общих частей равенства \displaystyle \frac{a_k}{2}, получим:
\displaystyle a_{k+1}-a_k=\frac{a_{k-1}-a_k}{2}
Это значит, что каждая следующая разность между членами последовательности в 2 раза меньше предыдущей по модулю и противоположна предыдущей по знаку.

Тогда \displaystyle \left|a_3-a_2\right|=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2};
\displaystyle \left|a_4-a_3\right|=\frac{\left|a_3-a_2\right|}{2}=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{4}=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2^2}
\dots
\displaystyle \left|a_{100}-a_{99}\right|=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2^{98}}
Так как члены прогрессии – различные натуральные числа, \left|a_{100}-a_{99}\right|\ge 1. По условию, \left|a_2-a_1\right|\textless \ 2021.

Получим:
\displaystyle 1\le \left|a_{100}-a_{99}\right|=\frac{\left|a_2-a_1\right|}{2^{98}}\textless \frac{2021}{2^{98}};
Отсюда 2^{98\ }\textless 2021 – противоречие, т.к. 2^{11}=2048\textgreater 2021

в) Пусть n=10.
a_{10}=a_{10}-a_9+a_9-a_8+a_8-a_7+\dots +a_3-a_2+a_2-a_1+a_1. (1)
(Мы прибавили и вычли числа a_9,\ a_8\dots \ a_1).

Так как
\displaystyle a_{k+1}-a_k=\frac{a_{k-1}-a_k}{2},

выразим все разности между соседними членами последовательности через a_1 и a_2.
\displaystyle a_3-a_2=-\frac{a_2-a_1}{2}=\frac{a_1-a_2}{2}

\displaystyle a_4-a_3=\frac{a_2-a_1}{2^2},

\displaystyle a_5-a_4=\frac{a_1-a_2}{2^3},

\displaystyle a_6-a_5=\frac{a_2-a_1}{2^4},

\displaystyle a_7-a_6=\frac{a_1-a_2}{2^5},

\displaystyle a_8-a_7=\frac{a_2-a_1}{2^6},

\displaystyle a_9-a_8=\frac{a_1-a_2}{2^7},

\displaystyle a_{10}-a_9=\frac{a_2-a_1}{2^8}.

Подставим значения этих разностей в равенство (1):

\displaystyle a_{10}=\frac{a_2-a_1}{2^8}+\frac{a_1-a_2}{2^7}+\frac{a_2-a_1}{2^6}+\frac{a_1-a_2}{2^5}+\frac{a_2-a_1}{2^4}+

\displaystyle +\frac{a_1-a_2}{2^3}+\frac{a_2-a_1}{2^2}+\frac{a_1-a_2}{2}+a_2-a_1+a_1=

\displaystyle =\left(a_2-a_1\right)\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}-\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}-\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8}\right)+a_1.

Выражение во второй скобке – это сумма геометрической прогрессии, в которой \displaystyle b_1=1,\; q=-\frac{1}{2}, \; n=9.

Вычислим ее по формуле \displaystyle S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}.

\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}-\dots +\frac{1}{2^8}=\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^9-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)-1}=\frac{\left(\frac{1}{2^9}+1\right)\cdot 2}{3}=\frac{\left(\frac{1}{2^8}+2\right)}{3}=

\displaystyle =\frac{1+2^9}{2^8\cdot 3}=\frac{1+512}{256\cdot 3}=\frac{513}{256\cdot 3}=\frac{171}{256}.

Тогда \displaystyle a_{10}=\frac{171}{256}\left(a_2-a_1\right)+a_1

Это значит, что \left(a_2-a_1\right)\vdots 256, поскольку a_{10} – целое. Значит, \left |a_2-a_1 \right | \ge 256.

1) Пусть a_2-a_1\textgreater 0. Тогда

\displaystyle a_{10}=\frac{171}{256}\left(a_2-a_1\right)+a_1\ge \frac{171}{256}\cdot 256+a_1=171+a_1.

Так как a_1\ge 1,\; a_{10}\ge 171+1=172.

2) Если a_2-a_1\textless 0, получим, что a_2-a_1\le -256,

\displaystyle a_{10}=\frac{171}{256}\left(a_2-a_1\right)+a_1=a_1\left(1-\frac{171}{256}\right)+\frac{171}{256}a_2=

\displaystyle =\frac{85}{256}a_1+\frac{171}{256}a_2=\frac{85}{256}a_1-\frac{85}{256}a_2+a_2=\frac{85}{256}\left(a_1-a_2\right)+a_2;

Поскольку a_{10} – целое, \displaystyle \left(a_1-a_2\right)\vdots 256; \;  a_1-a_2\ge 256,

тогда \displaystyle a_{10} \ge \frac{85}{256} \cdot 256 +a_2 \ge 85+1;

a_{10}\ge 86 – оценка.

Чтобы подобрать пример, рассмотрим случай a_2-a_1\textless 0, то есть a_1\textgreater a_2.

Возьмём a_2=1,\ a_1-a_2=256, тогда \displaystyle a_1=257; a_3=\frac{257+1}{2}=129.

Получим последовательность:
257;\ 1;\ 129;\ 65;\ 97;\ 81;\ 89;\ 85;\ 87;\ 86.
a_{10}=86.
Ответ: 86.