Это новая задача с параметром (№18 Профильного ЕГЭ по математике). Автор – Анна Малкова. Задача была предложена на Пробном ЕГЭ онлайн, который ЕГЭ-Студия провела в декабре 2018 года.
Проверьте свои силы. Обратите внимание на оформление решения.
Авторская задача. При каких значениях параметра \(a\) найдется такое значение параметра \(b>0\), что система уравнений \(\left\{\begin{matrix}
\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}\sqrt{y-1}(4+\sqrt{2}-x-y)}{(x-1)^2+(y-1)^2}=0,\\
(x-a)^2+(y-a)^2=b^2
\end{matrix}\right.\) имеет ровно три различных решения?
Решение:
В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:
\(\left\{\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x=1,\\
y=1,\\
y=4+\sqrt{2}-x,
\end{matrix}\right.\\
x-1\geq0,\\
y-1\geq0,\\
(x-1)^2+(y-1)^2\neq0,\\
(x-a)^2+(y-a)^2=b^2.
\end{matrix}\right.\)
Уравнение \(x=1\) задает вертикальную прямую, проходящую через точку \((1; 0)\).
Уравнение \(y=1\) задает горизонтальную прямую, проходящую через точку \((0; 1)\).
Уравнение \(y=4+\sqrt{2}-x\) задает прямую, угловой коэффициент которой равен \(-1\), пересекающую ось ординат в точке \((0; 4+\sqrt{2})\).
Условия \(x-1\geq0\) и \(y-1\geq0\) задают область, находящуюся выше прямой \(y=1\) и правее прямой \(x=1\), включая границу области.
Условие \((x-1)^2+(y-1)^2\neq0\) означает, что \(x\) и \(y\) не равны нулю одновременно. Точка \(A(1; 1)\) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.
Изобразим на координатной плоскости \((xy)\) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.
На рисунке \(E\) – точка пересечения прямых \(x=1\) и \(y=4+\sqrt{2}-x\), \(F\) – точка пересечения прямых \(y=1\) и \(y=4+\sqrt{2}-x\).
Координаты точки \(E\) \((3+\sqrt{2};1)\), координаты точки \(F\) \((1;3+\sqrt{2})\).
Треугольник \(AEF\) – прямоугольный с гипотенузой \(EF\) и катетами \(AE\) и \(AF\).
График второго уравнения системы – окружность с центром \((a;a)\) и радиусом \(b\). Центр этой окружности лежит на прямой \(y=x\).
Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке \((a;a)\) и радиусом \(b\), имеющая с графиком первого уравнения ровно \(3\) общие точки?
Иными словами, где на прямой \(y=1\) должен быть расположен центр окружности радиуса \(b\), чтобы окружность имела ровно \(3\) общие точки с графиком первого уравнения?
Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой \(y=1\).
Действительно, если пара \((m; n)\) является решением первого уравнения, то и пара \((n; m)\) является ее решением
Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой \(y=1\), то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку \(C\) – середину отрезка \(EF\). Точка \(A\) не подойдет – она выколотая.
Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку \(C\) и пересекает каждый катет треугольника \(AEF\) (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.
1 случай. Окружность вписана в треугольник \(AEF\). Ее центром является точка \(P\).
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле \(\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}\).
Длины катетов \(AE\) и \(AF\) равны \(2+\sqrt{2}\), гипотенуза \(EF\) равна \(AE\cdot\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}\), радиус \(b=1\), \(A=2\).
2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника \(AEF\), касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр – точка \(Q\). Радиус этой окружности \(b\), соответствующее значение a найдем из подобия прямоугольных треугольников \(OPN\) и \(OQM\).
\(\displaystyle \frac{OQ}{QM}=\frac{OP}{PN}\), причем \(QM=b+1, \; OQ=OP+PC+QC=2\sqrt{2}+1+b.\)
Получим, что для вневписанной окружности радиус \(b=3+2\sqrt{2}\) и \(a=4+2\sqrt{2}.\)
3 случай. Окружность с центром в точке \((a; a)\) касается отрезка \(EF\) в точке \(C\) и пересекает катеты \(AE\) и \(AF\) каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке \((1; 1)\) или ниже ее.
Если окружность с центром в точке \((a; a)\) пересекает прямую \(y=x\) второй раз в точке \((1; 1)\), то ее центром является точка \(T\) \( \left ( \displaystyle \frac{6+\sqrt{2}}{4};\frac{6+\sqrt{2}}{4} \right )\) – середина отрезка \(AC\). Тогда \(\displaystyle a=\frac{6+\sqrt{2}}{4}, \; b=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\).
Если \(a < \displaystyle \frac{6+\sqrt{2}}{4}\), то окружность, касающаяся \(EF\), пересекает катеты \(AE\) и \(AF\) каждый в одной точке, т. е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае \(b=2\sqrt{2}+1-a\sqrt{2}\).
Если \(\displaystyle frac{6+\sqrt{2}}{4} < a < 2\) то есть центр окружности лежит выше точки \(T\) и ниже точки \(P\), окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.
Ответ:\(a=2\); \(a=4+2\sqrt{2}\); \(a\leq\displaystyle \frac{6+\sqrt{2}}{4}.\)
