Это новая задача с параметром (№18 Профильного ЕГЭ по математике). Автор – Анна Малкова. Задача была предложена на Пробном ЕГЭ онлайн, который ЕГЭ-Студия провела в декабре 2018 года.
Проверьте свои силы. Обратите внимание на оформление решения.
Авторская задача. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра b>0, что система уравнений
имеет ровно три различных решения?
В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:
Уравнение x=1 задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0).
Уравнение y=1 задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1).
Уравнение задает прямую, угловой коэффициент которой равен -1, пересекающую ось ординат в точке
.
Условия и
задают область, находящуюся выше прямой
и правее прямой
, включая границу области.
Условие означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.
На рисунке Е – точка пересечения прямых и
, F – точка пересечения прямых
и
. Координаты точки E
, координаты точки F
.
Треугольник АEF – прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.
График второго уравнения системы – окружность с центром (a;a) и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой .
Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке (a;a) и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?
Иными словами, где на прямой должен быть расположен центр окружности радиуса b, чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?
Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой .
Действительно, если пара (m;n) является решением первого уравнения, то и пара (n;m) является ее решением
Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой , то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С – середину отрезка EF. Точка А не подойдет – она выколотая.
Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.
1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле .
Длины катетов АЕ и АF равны , гипотенуза EF равна
, радиус b = 1, а = 2.
2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр – точка Q. Радиус этой окружности b, соответствующее значение a найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.
, причем
Получим, что для вневписанной окружности радиус и
3 случай. Окружность с центром в точке (а; а) касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.
Если окружность с центром в точке (а; а) пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т – середина отрезка АС. Тогда
.
Если , то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае
.
Если то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.
Ответ:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задача с параметром (№18) на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 07.09.2023