Задача с параметром (№18) на ЕГЭ по математике

Это новая задача с параметром (№18 Профильного ЕГЭ по математике). Автор – Анна Малкова. Задача была предложена на Пробном ЕГЭ онлайн, который ЕГЭ-Студия провела в декабре 2018 года.
Проверьте свои силы. Обратите внимание на оформление решения.

Авторская задача. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра b>0, что система уравнений

$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}\sqrt{y-1}(4+\sqrt{2}-x-y)}{(x-1)^2+(y-1)^2}=0\\(x-a)^2+(y-a)^2=b^2\end{matrix}\right.$

имеет ровно три различных решения?

В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:

$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\\y=4+\sqrt{2}-x\end{matrix}\right.\\x-1\geq0\\y-1\geq0\\(x-1)^2+(y-1)^2\neq0\\(x-a)^2+(y-a)^2=b^2\end{matrix}\right. .$

Уравнение x=1 задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0).

Уравнение y=1 задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1).

Уравнение $y=4+\sqrt{2}-x$ задает прямую, угловой коэффициент которой равен -1, пересекающую ось ординат в точке $(0; 4+\sqrt{2})$ .

Условия $x-1\geq0$ и $y-1\geq0$ задают область, находящуюся выше прямой $y=1$ и правее прямой $x=1$ , включая границу области.

Условие $(x-1)^2+(y-1)^2\neq0$ означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.

Изобразим на координатной плоскости $(xy)$ множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.

На рисунке Е – точка пересечения прямых $x=1$ и $y=4+\sqrt{2}-x$ , F – точка пересечения прямых $y=1$ и $y=4+\sqrt{2}-x$ . Координаты точки E $(3+\sqrt{2};1)$ , координаты точки F $(1;3+\sqrt{2})$ .

Треугольник АEF – прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.

График второго уравнения системы – окружность с центром (a;a) и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой $y=x$ .

Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке (a;a) и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?

Иными словами, где на прямой $y=1$ должен быть расположен центр окружности радиуса b, чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?

Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой $y=1$ .

Действительно, если пара (m;n) является решением первого уравнения, то и пара (n;m) является ее решением

Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой $y=1$ , то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С – середину отрезка EF. Точка А не подойдет – она выколотая.

Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.

1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле $\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}$ .

Длины катетов АЕ и АF равны $2+\sqrt{2}$ , гипотенуза EF равна $AE\cdot\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$ , радиус b = 1, а = 2.

2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр – точка Q. Радиус этой окружности b, соответствующее значение a найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.

$\displaystyle \frac{OQ}{QM}=\frac{OP}{PN}$ , причем $QM=b+1,OQ=OP+PC+QC=2\sqrt{2}+1+b.$

Получим, что для вневписанной окружности радиус $b=3+2\sqrt{2}$ и $a=4+2\sqrt{2}.$

3 случай. Окружность с центром в точке (а; а) касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.

Если окружность с центром в точке (а; а) пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т $\displaystyle \left ( \frac{6+\sqrt{2}}{4};\frac{6+\sqrt{2}}{4} \right )$ – середина отрезка АС. Тогда $\displaystyle a=\frac{6+\sqrt{2}}{4}, b=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ .

Если $a<\displaystyle \frac{6+\sqrt{2}}{4}$ , то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае $b=2\sqrt{2}+1-a\sqrt{2}$ .

Если $\displaystyle \frac{6+\sqrt{2}}{4}<a<2$ то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.

Ответ: $\displaystyle a=2;a=4+2\sqrt{2};a\leq\frac{6+\sqrt{2}}{4}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задача с параметром (№18) на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Задача с параметром (№18) на ЕГЭ по математике

Это полезно