previous arrow
next arrow
Slider

Задача с параметром (№18) на ЕГЭ по математике

Это новая задача с параметром (№18 Профильного ЕГЭ по математике). Автор – Анна Малкова. Задача была предложена на Пробном ЕГЭ онлайн, который ЕГЭ-Студия провела в декабре 2018 года.
Проверьте свои силы. Обратите внимание на оформление решения.

Авторская задача. При каких значениях параметра a найдется такое значение параметра b>0, что система уравнений


\left\{\begin{matrix}\frac{\sqrt{x-1}\sqrt{y-1}(4+\sqrt{2}-x-y)}{(x-1)^2+(y-1)^2}=0,\\(x-a)^2+(y-a)^2=b^2\end{matrix}\right.

имеет ровно три различных решения?

В первом уравнении нет параметра. Посмотрим на него: в левой части дробь, в правой ноль. Значит, числитель дроби должен быть равен нулю, а знаменатель не равен. Наша система равносильна следующей:

\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\\y=4+\sqrt{2}-x\end{matrix}\right.\\x-1\geq0\\y-1\geq0\\(x-1)^2+(y-1)^2\neq0\\(x-a)^2+(y-a)^2=b^2\end{matrix}\right.

Уравнение x=1 задает вертикальную прямую, проходящую через точку (1; 0)
Уравнение y=1 задает горизонтальную прямую, проходящую через точку (0; 1)

Уравнение y=4+\sqrt{2}-x задает прямую, угловой коэффициент которой равен -1, пересекающую ось ординат в точке (0; 4+\sqrt{2}).
Условия x-1\geq0 и y-1\geq0 задают область, находящуюся выше прямой y=1 и правее прямой x=1, включая границу области.
Условие (x-1)^2+(y-1)^2\neq0 означает, что х и у не равны нулю одновременно. Точка А(1; 1) не удовлетворяет ОДЗ и на чертеже будет выколотой.
Изобразим на координатной плоскости x0y множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы.
На рисунке Е – точка пересечения прямых x=1 и y=4+\sqrt{2}-x, F - точка пересечения прямых y=1 и y=4+\sqrt{2}-x. Координаты точки E (3+\sqrt{2};1), координаты точки F (1;3+\sqrt{2}).
Треугольник АEF – прямоугольный с гипотенузой EF и катетами АE и AF.

График второго уравнения системы – окружность с центром (a;a) и радиусом b. Центр этой окружности лежит на прямой y=x.

Переформулируем условие задачи: при каких значениях параметра a найдется окружность с центром в точке (a;a) и радиусом b, имеющая с графиком первого уравнения ровно 3 общие точки?
Иными словами, где на прямой y=1 должен быть расположен центр окружности радиуса b чтобы окружность имела ровно 3 общие точки с графиком первого уравнения?
Заметим, что график первого уравнения симметричен относительно прямой y=1.
Действительно, если пара (m;n) является решением первого уравнения, то и пара (n;m) является ее решением
Следовательно, для того чтобы система имела нечетное количество решений, необходимо, чтобы решением была пара чисел, у которой y=1, то есть задаваемая вторым уравнением окружность должна проходить через точку С – середину отрезка EF. Точка А не подойдет – она выколотая.
Найдем, в каких случаях заданная вторым уравнением окружность проходит через точку С и пересекает каждый катет треугольника AEF (или продолжение этого катета) ровно 1 раз.

1 случай. Окружность вписана в треугольник AEF. Ее центром является точка Р.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находим по формуле r=\frac{a+b-c}{2}.
Длины катетов АЕ и АF равны 2+\sqrt{2}, гипотенуза EF равна AE\cdot\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}, радиус b = 1, а = 2.

2 случай. Так называемая вневписанная окружность треугольника AEF, касающаяся его гипотенузы и продолжений катетов. Ее центр – точка Q. Радиус этой окружности b и соответствующее значение a найдем из подобия прямоугольных треугольников OPN и OQM.
\frac{OQ}{QM}=\frac{OP}{PN}, причем QM=b+1,OQ=OP+PC+QC=2\sqrt{2}+1+b.
Получим, что для вневписанной окружности радиус b=3+2\sqrt{2} и a=4+2\sqrt{2}

3 случай. Окружность с центром в точке (а; а) касается отрезка EF в точке С и пересекает катеты АE и AF каждый в одной точке. Это происходит, когда окружность пересечет прямую y=x второй раз в точке (1; 1) или ниже ее.
Если окружность с центром в точке (а; а) пересекает прямую y=x второй раз в точке (1; 1), то ее центром является точка Т (\frac{6+\sqrt{2}}{4};\frac{6+\sqrt{2}}{4}) - середина отрезка АС. Тогда a=\frac{6+\sqrt{2}}{4}, b=\frac{1+\sqrt{2}}{2} .
Если a<\frac{6+\sqrt{2}}{4}, то окружность, касающаяся EF, пересекает катеты AE и AF каждый в одной точке, т.е. удовлетворяет условию задачи. В этом случае b=2\sqrt{2}+1-a\sqrt{2}.
Если \frac{6+\sqrt{2}}{4}<a<2 то есть центр окружности лежит выше точки Т и ниже точки Р, окружность пересекает каждый катет дважды, и число решений больше трех.
Ответ:a=2;a=4+2\sqrt{2};a\leq\frac{6+\sqrt{2}}{4}