Мы знаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Давайте повторим:
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
\(sinA=\displaystyle \frac{a}{c}.\)
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
\(cosA=\displaystyle \frac{b}{c}.\)
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
\(tgA=\displaystyle \frac{a}{b}.\)
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
\(tgA=\displaystyle \frac{sinA}{cosA}.\)
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
\(ctgA=\displaystyle \frac{cosA}{sinA}.\)
В прямоугольном треугольнике выполняются соотношения:
\(1+tg^{2}\alpha=\displaystyle \frac{1}{cos^2\alpha}.\)
| \(sin\alpha=\displaystyle \frac{a}{c}\) | \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) | \(\alpha+\beta=90^{\circ}\) |
| \(cos\alpha=\displaystyle \frac{b}{c}\) | \(1+tg^2\alpha=\displaystyle \frac{1}{cos^2\alpha}\) | \(cos\alpha=sin\beta\) |
| \(tg\alpha=\displaystyle \frac{a}{b}\) | \(1+ctg^2\alpha=\displaystyle \frac{1}{sin^2\alpha}\) | \(sin\alpha=cos\beta\) |
| \(ctg\alpha=\displaystyle \frac{b}{a}\) | \(tg\alpha=ctg\beta\) |
Мы определили синус, косинус, тангенс и котангенс для острого угла. Но ведь углы бывают не только острые. Еще прямой угол, тупой, развернутый.
Оказывается, и для них можно определить синус, косинус, тангенс и котангенс.
В этой теме мы определим, что такой синус, косинус и тангенс для углов от \(0\) до \(180\) градусов.
Возьмем прямой угол, \(90\) градусов. Запишем, чему равны его синус и косинус.
\(sin90^{\circ}=1\);
\(cos90^{\circ}=0\);
Тангенс \(90\) градусов не существует, потому что \(tg90^{\circ}=sin90^{\circ}:cos90^{\circ}\), а на \(0\) делить нельзя.
\(ctg 90^{\circ}=0\).
Можно рассмотреть также угол в \(0\) градусов. Конечно, в треугольнике такого угла быть не может. А в алгебре мы можем его встретить.
\(sin0^{\circ}=0\);
\(cos0^{\circ}=1\);
\(tg 0^{\circ}=0\).
А вот котангенс для \(0\) градусов не определен, потому что \(sin0^{\circ}=0\), а на \(0\) делить нельзя.
Теперь развернутый угол, \(180\) градусов. Для этого угла:
\(sin180^{\circ}=0\);
\(cos180^{\circ}=-1\);
\(tg 180^{\circ}=0\).
А котангенс для \(180\) градусов не определен, потому что на \(0\) делить нельзя.
Как все это запомнить? Можно нарисовать табличку, но удобнее пользоваться рисунком, на котором изображена единичная полуокружность.
Единичная полуокружность
Нарисуем полуокружность в нашей системе координат \((X; Y)\), в которой мы рисовали параболы и прямые.
Центр полуокружности в начале координат, а радиус равен \(1\).
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси \(OX\) против часовой стрелки.
Точка с координатами \((1; 0)\) соответствует углу в ноль градусов. Это самая правая точка полуокружности.
Точка с координатами \((0; 1)\) соответствует углу в \(90\) градусов. Это самая верхняя точка полуокружности.
Точка с координатами \((-1; 0)\) отвечает углу в \(180^{\circ }\). Это самая левая точка полуокружности.
Каждому углу от нуля до \(180\) градусов соответствует точка на единичной полуокружности.
Косинусом угла \(\alpha\) называется абсцисса (то есть координата по оси \(OX\)) точки на единичной полуокружности, соответствующей данному углу \(\alpha\).
Синусом угла \(\alpha\) называется ордината (то есть координата по оси \(OY\)) точки на единичной полуокружности, соответствующей данному углу \(\alpha\).
Для каждого угла от \(0\) до \(180\) градусов мы можем определить синус и косинус.
Чтобы найти синус угла от \(0\) до \(180\) градусов, отмечаем его на единичной полуокружности. И смотрим, чему равна ордината (координата по вертикали) соответствующей точки.
Обратим внимание – определение синуса и косинуса как отношений противолежащего (или прилежащего) катета к гипотенузе – это частный случай для углов от нуля до \(90\) градусов.
И синус, и косинус не могут быть больше \(1\). Потому что это координаты точек на единичной полуокружности. Самая большая абсцисса точки на единичной полуокружности равна \(1\) (крайняя правая точка), а самая маленькая \(-1\) (крайняя левая точка).
Например, мы хотим найти синус и косинус \(30\) градусов.
Находим на единичной полуокружности точку, соответствующую углу в \(30\) градусов.
Абсцисса этой точки – это косинус \(30\) градусов.
А ордината этой точки – синус \(30\) градусов.
Получаем:
\(sin30^{\circ}=\displaystyle \frac{1}{2}\);
\(cos30^{\circ}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(tg 30^{\circ}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\);
\(ctg 30^{\circ}=\sqrt{3}\).
Вот так для любого угла от \(0\) до \(180^{\circ }\) находим синус и косинус. А поделив синус на косинус, находим тангенс. Конечно, если косинус не равен нулю.
Обратите внимание, что для углов от \(0\) до \(90\) градусов и синус, и косинус, и тангенс, и котангенс положительны. А для углов от \(90\) до \(180\) градусов синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
Например,
\(sin150^{\circ}=\displaystyle \frac{1}{2}\);
\(cos150^{\circ}=\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Смотрите: у углов \(30^{\circ }\) и \(150^{\circ }\) синусы равны, а косинусы равны по модулю и противоположны по знаку. И это не случайно. Это потому, что \(30^{\circ }+ 150^{\circ }=180^{\circ }\).
Для углов \(\alpha\) и \(180^{\circ}-\alpha\) верны равенства:
\(sin(180^{\circ}-\alpha)=sin\alpha\);
\(cos(180^{\circ}-\alpha)=-cos\alpha\);
\(tg(180^{\circ}-\alpha)=-tg\alpha\).
В курсе тригонометрии 10-11 класса мы будем говорить о синусе и косинусе произвольного угла, то есть любого. И тогда мы дорисуем нашу полуокружность до тригонометрического круга. А пока – перейдем к примерам ОГЭ.
1. Найдите косинус \(120\) градусов.
Решение:
Находим на единичной полуокружности угол \(120^{\circ }\). Его косинус равен \(\left (-\displaystyle \frac{1}{2}\right )\).
Ответ: -0,5
2. Найдите тангенс угла \(\alpha = 135^{\circ}\).
Решение: Находим угол \(\alpha = 135^{\circ}\) на единичной полуокружности. Его синус равен \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\), а косинус равен \(\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Поделим эти числа друг на друга:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}:\left(- \frac{\sqrt{2}}{2}\right )= -1.\)
Ответ: -1
