Систему уравнений можно решать методом подстановки – выражать переменную из одного уравнения и подставлять в другое.
Уравнения в системе можно также складывать друг с другом и вычитать одно из другого. Например, левую часть одного уравнения складываем с левой частью другого, правую – с правой.
Можно умножать и даже делить одно уравнение на другое! Конечно, при этом надо следить, чтобы не умножить или не поделить на ноль.
Обратите внимание – когда мы решаем систему уравнений, она не распадается на «кусочки», на отдельные уравнения. Каждый раз мы переходим от системы уравнений к равносильной ей системе.
1. Решите систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
\left ( x+4 \right )\left ( y+90 \right )=360,\\
\left ( x+5 \right )\left ( y+45 \right )=225.
\end{matrix}\right.\)
Решение:
Раскроем скобки в каждом уравнении:
\(\left\{\begin{matrix}
xy+90x+4y+360=360,\\
xy+45x+5y+225=225;
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
xy+90x+4y=0,\\
xy+45x+5y=0.
\end{matrix}\right.\)
Вычтем из первого уравнения системы второе: \(45x=y\). И подставим во второе уравнение.
\(\left\{\begin{matrix}
y=45x,\\
xy+45x+5y=0;
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
y=45x,\\
45x^{2}+45x+225x=0;
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
y=45x,\\
45x^{2}+270x=0;
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
y=45x,\\
x\left ( x+6 \right )=0;
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
y=45x,\\
\left[
\begin{array}{ccc}
x=0,\\
x=6;
\end{array}
\right.
\end{matrix}\right.\)
\(\left[
\begin{array}{ccc}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix}
x=0,\\
y=0,\\
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=-6,\\
y=-270.
\end{matrix}\right.
\end{array}
\right.\)
Ответ: \((0; 0), (-6; -270)\).
2. Решите систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
x^{3}+y^{3}=2,\\
xy\left ( x+y \right )=2.
\end{matrix}\right.\)
Решение:
\(\left\{\begin{matrix}
x^{3}+y^{3}=2,\\
xy\left ( x+y \right )=2;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\left ( x+y \right )\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )=2,\\
xy\left ( x+y \right )=2.
\end{matrix}\right.\)
Мы разложили левую часть первого уравнения на множители по формуле суммы кубов.
Поделим первое уравнение системы на второе
\(\displaystyle \frac{x^{2}-xy+y^{2}}{xy}=1;\)
\(x^{2}-xy+y^{2}=xy;\)
\(x^{2}-2xy+y^{2}=0;\)
\(\left ( x-y \right )^{2}=0;\)
\(x=y.\)
Подставим \(x=y\) в уравнение \(x^{3}+y^{3}=2:\)
\(2x^{3}=2;\)
\(x^{3}=1;\)
\(x=1;\)
\(y=1.\)
Ответ: \((1; 1).\)
3. Решите систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{4}=20,\\
x^{4}+y^{2}=20.
\end{matrix}\right.\)
Решение:
Сделаем замену:
\(x^{2}=u, \; u\geq 0;\)
\(y^{2}=v, \;v\geq 0.\)
Дальше – цепочка равносильных переходов.
\(\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
u^{2}+v=20;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
u+v^{2}=u^{2}+v;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
u-v=u^{2}-v^{2};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
u-v=\left ( u-v \right )\left ( u+v \right );
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
u-v=\left ( u-v \right )\left ( u+v \right );
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
\left (u-v \right )-\left ( u-v \right )\left ( u+v \right )=0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
\left ( u-v \right )\left ( 1-u-v \right )=0;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \)
\(\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
\left[
\begin{array}{ccc}
u=v,\\
u+v=1;
\end{array}
\right.\\
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
u=v,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
u+v^{2}=20,\\
u=1-v;
\end{matrix}\right.
\end{array}
\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{matrix}
u=v,\\
v^{2}+v-20=0,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
u=1-v,\\
v^{2}-v-19=0.
\end{matrix}\right.
\end{array}
\right. \)
Решения первой системы: \(\left\{\begin{matrix}
v=4,\\
u=4.
\end{matrix}\right.\)
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}
x^{2}=4,\\
y^{2}=4;
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{ccc}
\!\!\!\left\{\begin{matrix}
x=2,\\
y^{2}=4,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=-2,\\
y^{2}=4;
\end{matrix}\right.
\end{array}
\right .\Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{ccc}
\!\!\!\left\{\begin{matrix}
x=2,\\
y=2,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=2,\\
y=-2,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=-2,\\
y=2,
\end{matrix}\right.\\
\left\{\begin{matrix}
x=-2,\\
y=-2.
\end{matrix}\right.
\end{array}
\right .\)
Вторая система:
\(\left\{\begin{matrix}
u+v=1,\\
v^{2}-v-19=0.
\end{matrix}\right. \)
Решим квадратное уравнение \(v^{2}-v-19=0\). Его корни:
\(v_{1}=\displaystyle \frac{1-\sqrt{77}}{2}\) и \(v_{2}=\displaystyle \frac{1+\sqrt{77}}{2}.\)
\(v=\displaystyle \frac{1-\sqrt{77}}{2}< 0\), и уравнение \(v=y^{2}\) в этом случае решений не имеет. \(v=\displaystyle \frac{1+\sqrt{77}}{2}> 1\), тогда \(u< 0\) и уравнение \(u=x^{2}\) не имеет решений. Значит, у второй системы решений нет.
Ответ: \((2; 2), (2; –2), (–2; –2),(–2; –2).\)
4. Решите систему уравнений:
\( \left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3},\\
\displaystyle\frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5},\\
\displaystyle\frac{zx}{x+z}=\frac{3}{4}.
\end{matrix}\right.\)
Решение:
\(\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3},\\
\displaystyle\frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5},\\
\displaystyle\frac{zx}{x+z}=\frac{3}{4};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2},\\
\displaystyle\frac{y+z}{yz}=\frac{5}{6},\\
\displaystyle\frac{x+z}{zx}=\frac{4}{3};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2},\\
\displaystyle\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6},\\
\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{4}{3}.
\end{matrix}\right.\)
Замена:
\(\displaystyle\frac{1}{x}=a\);
\(\displaystyle\frac{1}{y}=b\);
\(\displaystyle\frac{1}{z}=c\).
\(\left\{\begin{matrix}
a+b=\displaystyle\frac{3}{2},\\
c+b=\displaystyle\frac{5}{6},\\
a+c=\displaystyle\frac{4}{3};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a+b=\displaystyle\frac{3}{2},\\
a-c=\displaystyle\frac{2}{3},\\
a+c=\displaystyle\frac{4}{3};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a+b=\displaystyle\frac{3}{2},\\
2a=2,\\
2c=\displaystyle\frac{2}{3};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=1,\\
b=\displaystyle\frac{1}{2},\\
c=\displaystyle\frac{1}{3};
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=1,\\
y=2,\\
z=3.
\end{matrix}\right.\)
Ответ: \(1, 2, 3.\)
