previous arrow
next arrow
Slider

Системы алгебраических уравнений

Систему уравнений можно решать методом подстановки – выражать переменную из одного уравнения и подставлять в другое.

Уравнения в системе можно также складывать друг с другом и вычитать одно из другого. Например, левую часть одного уравнения складываем с левой частью другого, правую – с правой.

Можно умножать и даже делить одно уравнение на другое! Конечно, при этом надо следить, чтобы не умножить или не поделить на ноль.

Обратите внимание – когда мы решаем систему уравнений, она не распадается на «кусочки», на отдельные уравнения. Каждый раз мы переходим от системы уравнений к равносильной ей системе.

1. Решите систему уравнений:

\left\{\begin{matrix}\left ( x+4 \right )\left ( y+90 \right )=360\\\left ( x+5 \right )\left ( y+45 \right )=225\end{matrix}\right.

Раскроем скобки в каждом уравнении:

\left\{\begin{matrix}xy+90x+4y+360=360\\xy+45x+5y+225=225\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}xy+90x+4y=0\\xy+45x+5y=0\end{matrix}\right.

Вычтем из первого уравнения системы второе: 45x=y. И подставим во второе уравнение.

\left\{\begin{matrix}y=45x\\xy+45x+5y=0\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}y=45x\\45x^{2}+45x+225x=0\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}y=45x\\45x^{2}+270x=0\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}y=45x\\x\left ( x+6 \right )=0\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}y=45x\\\left[\begin{array}{ccc}x=0\\x=6\end{array}\right.\end{matrix}\right.

\left[\begin{array}{ccc}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\\\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-6\\y=-270\end{matrix}\right.\end{array}\right.

Ответ: (0;0), (-6; -270).

2. Решите систему уравнений:
\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=2\\xy\left ( x+y \right )=2\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=2\\xy\left ( x+y \right )=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left ( x+y \right )\left ( x^{2}-xy+y^{2} \right )=2\\xy\left ( x+y \right )=2\end{matrix}\right.

Мы разложили левую часть первого уравнения на множители по формуле суммы кубов.

Поделим первое уравнение системы на второе

\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{xy}=1

x^{2}-xy+y^{2}=xy

x^{2}-2xy+y^{2}=0

\left ( x-y \right )^{2}=0

x=y

Подставим x=y в уравнение x^{3}+y^{3}=2

2x^{3}=2

x^{3}=1

x=1

y=1

Ответ: (1;1)

3. Решите систему уравнений: \left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{4}=20\\x^{4}+y^{2}=20\end{matrix}\right.

Сделаем замену

x^{2}=u,u\geq 0

y^{2}=v,v\geq 0

Дальше – цепочка равносильных переходов.

\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\u^{2}+v=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\u+v^{2}=u^{2}+v\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\u-v=u^{2}-v^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\u-v=\left ( u-v \right )\left ( u+v \right )\end{matrix}\right.\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\u-v=\left ( u-v \right )\left ( u+v \right )\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\\left (u-v \right )-\left ( u-v \right )\left ( u+v \right )=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\\left ( u-v \right )\left ( 1-u-v \right )=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\\left[\begin{array}{ccc}u=v\\u+v=1\end{array}\right.\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ccc}\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\u=v\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}u+v^{2}=20\\u=1-v\end{matrix}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ccc}\left\{\begin{matrix}u=v\\v^{2}+v-20=0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}u=1-v\\v^{2}-v-19=0\end{matrix}\right.\end{array}\right.

Решения первой системы: \left\{\begin{matrix}v=4\\u=4\end{matrix}\right.

Получим:

\left\{\begin{matrix}x^{2}=4\\y^{2}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ccc}\!\!\!\left\{\begin{matrix}x=2\\y^{2}=4\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-2\\y^{2}=4\end{matrix}\right.\end{array}\right .\Leftrightarrow\left[\begin{array}{ccc}\!\!\!\left\{\begin{matrix}x=2\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=2\\y=-2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-2\\y=2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-2\\y=-2\end{matrix}\right.\end{array}\right .

Вторая система:
\left\{\begin{matrix}u+v=1\\v^{2}-v-19=0\end{matrix}\right.

Решим квадратное уравнение v^{2}-v-19=0. Его корни:
v_{1}=\frac{1-\sqrt{77}}{2} и v_{2}=\frac{1+\sqrt{77}}{2}.

v=\frac{1-\sqrt{77}}{2} < 0, и уравнение v=y^{2} в этом случае решений не имеет. v=\frac{1+\sqrt{77}}{2} > 1, тогда u < 0 и уравнение u=x^{2} не имеет решений. Значит, у второй системы решений нет.

Ответ: (2; 2), (2; –2), (–2; –2),(–2; –2)

4. Решите систему уравнений:

\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{zx}{x+z}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3}\\\frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{zx}{x+z}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}\\\frac{y+z}{yz}=\frac{5}{6}\\\frac{x+z}{zx}=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.

Замена:

\frac{1}{x}=a;

\frac{1}{y}=b;

\frac{1}{z}=c.

\left\{\begin{matrix}a+b=\frac{3}{2}\\c+b=\frac{5}{6}\\a+c=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=\frac{3}{2}\\a-c=\frac{2}{3}\\a+c=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b=\frac{3}{2}\\2a=2\\2c=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=1\\b=\frac{1}{2}\\c=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.

Ответ: 1, 2, 3.