Справочник «Параметры»

«Базовые элементы» для решения задач с параметрами.

1. Уравнение x² + y² = R² задает окружность с центром в начале координат и радиусом |R|.

 

 

 

 

 

 

 

2. Уравнение (x-a)² + (y-b)² = R² задает окружность с центром в точке (a;b) и радиусом |R|.

 

 

 

 

3. Неравенство (x-a)² + (y-b)² ≤ R² задает круг вместе с границей.

 

 

4. Уравнение задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом |R|.

 

 

 

5. Уравнение  задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом |R|.

 

 

 

 

6. Уравнение  задает верхнюю полуокружность центром в точке (а; b) и радиусом |R|.

 

 

7. Уравнение a |x| + b |y| = c при положительных а, b и с задает ромбик, симметричный относительно начала координат.

 

 

8. Уравнение у = |х+а| + |х+b| (сумма модулей) задает график следующего вида:

 

 

 

9. Расстояние между точками находится по формуле:

Координаты середины М отрезка АВ находятся по формуле:

 

Уравнение отрезка:

Эта устрашающая  формула задает отрезок [MN], концы которого М (a;b) и N (c;d). Пара чисел (х;у) соответствует координатам любой точки этого отрезка.

Преобразование графиков функций

1. Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой y=f(x) и а>0. Тогда график функции y=f(x-a) будет сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции y=f(x +a) сдвинут относительно исходной на а влево.

 

2. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой y=f(x) и С – некоторое положительное число. Тогда график функции y=f(x) +С будет сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции
y=f(x) – С сдвинут относительно исходного на С вниз.

3. Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой y=f(x) и k>0. Тогда график функции y=f(kx) будет растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если 0<k<1, и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если k>1.

4. Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой y=f(x) и М >0. Тогда график функции y=М∙ f(x) будет растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если М>1, и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если 0<М<1.

5. Отражение по горизонтали

График функции y= f(-x) симметричен графику функции y= f(x) относительно оси Y.

 

 

6. Отражение по вертикали.

График функции y= – f( x) симметричен графику функции y=f(x) относительно оси Х.

7. Графики функций у= f(|x|) и у=|f(x)|

Элементарные функции и их графики

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике. Теория.

 

Для того чтобы решать любые задачи с параметрами, необходимы знания о графиках элементарных функций и преобразованиях графиков. Надо также знать, какие уравнения задают на плоскости окружность, круг, ромб и другие «базовые элементы» задач с параметрами.

 

Элементарные функции

 

 

Существует всего пять типов элементарных функций:

 

1. Степенные.

Это функции вида  . К этому типу относятся: линейные, квадратичные, кубические,    и многие другие – такие, которые содержат переменную, взятую в определенной степени.

 

2. Показательные – функции вида .
3. Логарифмические – функции вида .

 

4. Тригонометрические, в чьих формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
5. Обратные тригонометрические – содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например,

— произведение квадратичной и показательной функций;  — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.

 

Уравнения, которые вы решаете, также обычно относятся к одному из этих пяти типов. И для каждого типа есть свои способы решения, основанные на тех или иных свойствах функций.

 

 

Соберем в одной таблице графики основных элементарных функций.

 

 

Степенные функции
1.      Линейная функция y=kx+b. Пример: y=x   Прямые, имеющие одинаковые угловые коэффициенты, параллельны.   Прямые, для угловых коэффициентов которых выполняется равенство  - перпендикулярны.
2.      Квадратичная парабола Пример:

 

 

 

 

3.      Функция , х – натуральное, n – четное, n= 2, 4, 6, ... Функция в этом случае четная.
n – нечетное, n= 3, 5, 7, ... Функция также нечетная.

 

 

 

4.      Гипербола Пример:
5.
6.

 

 

 

 

Показательная функция
a > 1
0 < a < 1

 

 

 

 

Логарифмическая функция
a > 1
0 < a <1

 

 

 

 

 

Тригонометрические функции
y=sin x
y=cos x

 

 

y=tg x
y=ctg x

 

 

 

Обратные тригонометрические функции
y=arcsin x
y=arccos x

 

 

y=arctg x
y=arcctg x