Теоретический материал по теме «Стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 2».
1. Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей
Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии.
Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.
Мы не рассматриваем отдельно случай «плоскости совпадают». Раз совпадают — значит, это одна плоскость, а не две.
2. Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые
На плоскости две прямые или пересекаются, или параллельны друг другу. А в пространстве возможны три случая взаимного расположения прямых.
Две прямые в пространстве параллельны друг другу, пересекаются или скрещиваются.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны друг другу. Через них невозможно провести плоскость. Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.
3. Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость могут пересекаться или быть параллельными друг другу. Еще один случай — прямая лежит в плоскости.
Определение: Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.
Но как на практике проверить, что бесконечная прямая нигде не пересечет бесконечную плоскость? Для практического применения используется признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
Этот признак часто используется в решении задач по стереометрии. Например, в правильной четырехугольной пирамиде SABCD прямая АВ параллельна прямой СD — значит, АВ параллельна всей плоскости SCD.
4. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости
Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?
Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.
Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.
Определение. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.
Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.
Определение. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
5. Параллельность плоскостей
Определение. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.
В практических целях чаще используется признак параллельности плоскостей:
Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.
Свойства параллельных плоскостей:
1) Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
2) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
3) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
6. Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей
Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с.
Определение. Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.
Определение. Если угол между плоскостями равен 90 градусов, то плоскости перпендикулярны.
Решая задачи по стереометрии, мы используем также признак перпендикулярности плоскостей:
Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны.
7. Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними.
Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.
Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?
Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.
Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Проведем в плоскости β прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.
Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
8. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти также как расстояние от одной из них до параллельной ей плоскости, в которой лежит вторая прямая.
Все три способа используются при решении задач.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.
Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.
9. Теорема о трех перпендикулярах
Рассмотрим чертеж. На нем изображены плоскость α и лежащая в ней прямая m. Наклонная a пересекает плоскость α в точке М. Прямая а1 — проекция наклонной а на плоскость α.
Сформулируем теорему о трех перпендикулярах:
Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.
На рисунке показаны все три перпендикуляра.
Если прямая m, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Слова «тогда и только тогда» в формулировке теоремы означают, что прямая m перпендикулярна одновременно и наклонной, и ее проекции. Если m перпендикулярна наклонной, значит, перпендикулярна и ее проекции, и наоборот.
На нашем чертеже прямая m проведена через основание наклонной. Этого требует формулировка теоремы о трех перпендикулярах в большинстве учебников. Но прямая m, лежащая в плоскости, вовсе не обязана проходить через основание наклонной. Главное — чтобы она была перпендикулярна проекции наклонной. Тогда она будет перпендикулярна и самой наклонной:
Теорема о трех перпендикулярах — полезный инструмент для решения задач.
Например, с ее помощью можно доказать, что диагональ куба АС1 перпендикулярна прямой BD:
Или — что скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны:
Или — что в правильной треугольной призме прямая А1М (где М — середина ВС) перпендикулярна ребру ВС.
10. Параллельное проецирование. Площадь проекции фигуры
В задачах по геометрии успех зависит не только от знания теории, но от качественного чертежа.
С плоскими чертежами все более-менее понятно. А в стереометрии дело обстоит сложнее. Ведь изобразить надо трехмерное тело на плоском чертеже, причем так, чтобы и вы сами, и тот, кто смотрит на ваш чертеж, увидели бы то же самое объемное тело.
Как это сделать?
Конечно, любое изображение объемного тела на плоскости будет условным. Однако существует определенный набор правил. Существует общепринятый способ построения чертежей — параллельное проецирование.
Возьмем объемное тело.
Выберем плоскость проекции.
Через каждую точку объемного тела проведем прямые, параллельные друг другу и пересекающие плоскость проекции под каким-либо углом. Каждая из этих прямых пересекает плоскость проекции в какой-либо точке. А все вместе эти точки образуют проекцию объемного тела на плоскость, то есть его плоское изображение.
Как строить проекции объемных тел?
Представьте, что у вас есть каркас объемного тела — призмы, пирамиды или цилиндра. Освещая его параллельным пучком света, получаем изображение — тень на стене или на экране. Заметим, что в разных ракурсах получаются разные изображения, но некоторые закономерности все же присутствуют:
Проекцией отрезка будет отрезок.
Конечно, если отрезок перпендикулярен плоскости проекции — он отобразится в одну точку.
Проекцией круга в общем случае окажется эллипс.
Проекцией прямоугольника — параллелограмм.
Вот как выглядит проекция куба на плоскость:
Здесь передняя и задняя грани параллельны плоскости проекции
Можно сделать по-другому:
Какой бы ракурс мы ни выбрали, проекциями параллельных отрезков на чертеже тоже будут параллельные отрезки. Это один из принципов параллельного проецирования.
Рисуем проекции пирамиды,
цилиндра:
и шара:
Еще раз повторим основной принцип параллельного проецирования. Выбираем плоскость проекции и через каждую точку объемного тела проводим параллельные друг другу прямые. Эти прямые пересекают плоскость проекции под каким-либо углом. Если этот угол равен 90° — речь идет о прямоугольном проецировании. С помощью прямоугольного проецирования строятся чертежи объемных деталей в технике. В этом случае мы говорим о виде сверху, виде спереди и виде сбоку.
Иногда в задачах требуется найти площадь прямоугольной проекции фигуры.
Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна S cosφ, где φ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
11. Как строить чертежи в задачах по стереометрии
Часто бывает так, что вы построили чертеж — и непонятно, что делать дальше. На чертеже ничего хорошего не видно. Почему?
Не спешите обвинять себя в отсутствии пространственного мышления. Может быть, просто ракурс выбран неудачно.
Очень важно, чтобы объемное тело на вашем чертеже выглядело действительно объемным, а не складывалось, как зонтик. Следите, чтобы одна грань не накладывалась на другую, а непараллельные отрезки (например, ребро куба и его диагональ) не совпадали.
Приведем примеры удачных и неудачных чертежей.
Мы рисуем чертеж крупным, чтобы на нем всё было хорошо видно.
Видимые линии изображаем сплошными, невидимые — штриховыми. Если решаете задачу векторно-координатным методом, ставьте рядом с точками их координаты. Это удобно.
Общий принцип: не понравился чертеж – не возитесь с ним, сделайте другой. Посмотрите на задачу с другого ракурса.
Иногда одного чертежа недостаточно. Чаще всего для решения задач по стереометрии, кроме «объемного» чертежа, нужен один или несколько плоских.
Чем же все-таки признак отличается от определения? Есть, например, определение перпендикулярности прямой и плоскости — и признак перпендикулярности прямой и плоскости. В чем разница между ними?
Предположим, в конкретной задаче нам надо доказать, что прямая l перпендикулярна плоскости α.
Если применять определение – придется перебрать все прямые, лежащие в плоскости α. Сделать это невозможно, да и не нужно. Достаточно, чтобы прямая l была перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости α
12. Еще две полезные теоремы для решения задач по стереометрии:
1) Теорема о прямой и параллельной ей плоскости.
Пусть прямая а параллельна плоскости α,
плоскость β проходит через прямую а.
Тогда линия пересечения плоскостей α и β параллельна прямой а.
2) Теорема о трех плоскостях, пересекающихся по параллельным прямым.
Пусть пересекающиеся плоскости α и β проходят через параллельные прямые а и b. Тогда линия пересечения плоскостей α и β параллельна прямым а и b.
Легко запомнить – на рисунке эта конструкция похожа на домик : -)
13. Правила решения задач по стереометрии:
1. Начинаем с построения чертежа.
Строим чертеж ручкой,( не карандашом!), с помощью линейки. Невидимые элементы объемного тела изображаем штриховыми линиями.
2. Записываем каждый шаг решения. Помним, что в задаче по стереометрии необходимы подробные объяснения. Не просто «Прямая АВ перпендикулярна плоскости 
», а «Прямая АВ перпендикулярна плоскости , потому что она перпендикулярна пересекающимся прямым 
и 
, лежащим в плоскости ». Конечно, все это лучше записать не словами, а символами.
3. От объемной задачи переходим к плоской, планиметрической. Все необходимые плоские чертежи рисуем отдельно.
