Анна Малкова
Задание 13 Профильного ЕГЭ по математике – стереометрия. Если несколько лет назад с ним справлялся любой гуманитарий, то сейчас задача 13 состоит из двух пунктов.
Пункт (а) – доказательство какого-либо утверждения.
Пункт (б) – вычисление какой-либо величины.
Кстати, там есть и еще один, неявный пункт: построение чертежа. Без хорошего чертежа в этой задаче ничего не получится.
Есть небольшой секрет: то, что вы доказываете в пункте (а), чаще всего помогает решить пункт (б).
И оказывается, что Задачи 13 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из нескольких типов – в зависимости от того, что нужно найти. И для каждого типа задач – свои способы решения.
Эта небольшая таблица будет вашим путеводителем. Вы увидите, что делать в той или иной задаче.
| Типы задач | Методы решения |
| Угол между прямыми |
1) Находим угол между прямыми как угол треугольника (теорема косинусов). Пользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми. 2) Возможно – применение теоремы о трех перпендикулярах 3) Векторно-координатный способ |
| Угол между прямой и плоскостью |
1) По определению (как угол между прямой и ее проекцией на плоскость) 2) Векторно-координатный способ 3) В случае перпендикулярности прямой и плоскости – доказываем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости |
| Угол между плоскостями | 4) По определению (как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии их пересечения)
5) С помощью формулы площади прямоугольной проекции фигуры 6) Векторно-координатный способ – как угол между нормалями к плоскостям |
| Расстояние от точки до плоскости | 1) По определению (как длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость)
2) С помощью метода объемов 3) Координатный способ. Пользуемся формулой расстояния от точки до плоскости. |
| Расстояние между скрещивающимися прямыми | 1) По определению (как длину их общего перпендикуляра)
2) Как расстояние между одной из этих прямых и параллельной ей плоскостью, в которой лежит другая прямая. 3) Как расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые. |
| Нахождение радиуса сферы, вписанной в многогранник |
1) Находим центр сферы как точку, равноудаленную от всех граней многогранника 2) Разбиваем многогранник на пирамиды с общей вершиной в центре вписанной сферы. Представляем объем многогранника как сумму объемов этих пирамид. |
