previous arrow
next arrow
Slider

Стереометрия. Классификация и методы решения

Анна Малкова

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике – стереометрия. Если несколько лет назад с ним справлялся любой гуманитарий, то сейчас задача 14 состоит из двух пунктов.

Пункт (а) – доказательство какого-либо утверждения.

Пункт (б) – вычисление какой-либо величины.

Кстати, там есть и еще один, неявный пункт: построение чертежа. Без хорошего чертежа в этой задаче ничего не получится.

Есть небольшой секрет: то, что вы доказываете в пункте (а), чаще всего помогает решить пункт (б).

И оказывается, что Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из нескольких типов – в зависимости от того, что нужно найти. И для каждого типа задач – свои способы решения.

Эта небольшая таблица будет вашим путеводителем. Вы увидите, что делать в той или иной задаче.

Типы задач Методы решения
Угол между прямыми

1) Находим угол между прямыми как угол треугольника (теорема косинусов). Пользуемся определением угла между скрещивающимися прямыми.

2) Возможно – применение теоремы о трех перпендикулярах

3) Векторно-координатный способ

Угол между прямой и плоскостью

1) По определению (как угол между прямой и ее проекцией на плоскость)

2) Векторно-координатный способ

3) В случае перпендикулярности прямой и плоскости – доказываем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости

Угол между плоскостями 4) По определению (как угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к линии их пересечения)

5) С помощью формулы площади прямоугольной проекции фигуры

6) Векторно-координатный способ – как угол между нормалями к плоскостям

Расстояние от точки до плоскости 1) По определению (как длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость)

2) С помощью метода объемов

3) Координатный способ. Пользуемся формулой расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми 1) По определению (как длину их общего перпендикуляра)

2) Как расстояние между одной из этих прямых и параллельной ей плоскостью, в которой лежит другая прямая.

3) Как расстояние между параллельными плоскостями, в которых лежат эти прямые.

Нахождение радиуса сферы, вписанной в многогранник

1) Находим центр сферы как точку, равноудаленную от всех граней многогранника

2) Разбиваем многогранник на пирамиды с общей вершиной в центре вписанной сферы. Представляем объем многогранника как сумму объемов этих пирамид.