previous arrow
next arrow
Slider

Стереометрия. Задачи на построение сечений

В задачах на построение сечений мы применяем все те определения, теоремы, свойства и признаки, которые изучаем и доказываем на уроках в школе.

Например, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Это значит, что плоскость сечения и, например, плоскость грани пирамиды будут пересекаться по прямой, и на чертеже будет показана часть этой прямой – отрезок.

Как вы думаете - может ли восьмиугольник быть сечением куба?

И может ли правильный пятиугольник быть сечением куба?

Чтобы соединить какие-либо две точки на чертеже, нам нужна плоскость, в которой эти точки лежат. Иногда это грань объемного тела. Иногда – вспомогательная плоскость.

А вообще сечение - это плоская фигура, которая образуется при пересечении объемного тела плоскостью и граница которой лежит на поверхности этого объемного тела.

Конечно, восьмиугольник сечением куба быть не может. Ведь у куба 6 граней, и поэтому сечение куба не может иметь больше 6 сторон.

При построении сечений мы часто используем следующие теоремы:

1. Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Именно поэтому правильный пятиугольник не может быть сечением куба. Ведь 4 из 5 сторон этого пятиугольника лежат в параллельных гранях куба и поэтому параллельны. А у правильного пятиугольника параллельных сторон нет.

2. Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости α. Если плоскость β проходит через прямую m и пересекает плоскость α по прямой c, то c параллельна m.

Эта теорема помогает, например, при построении сечений пирамиды.

Разберем несколько задач на построение сечений.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка М лежит на ребре AD, N — на ребре DC, К — на ребре АВ.

Проведем МК в плоскости грани ABD и MN в плоскости грани ADC.

Продлим отрезки MN и АС; (MN)\cap (AC)=P;P\in \left(ABC\right).

Проведем РК в плоскости нижней грани; PK\cap BC=L; четырехугольник MNLK — искомое сечение.

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка N лежит на ребре BC, M \in AD, K \in BD, MK \parallel AB.

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной МК.

Прямая МК параллельна АВ, лежащей в плоскости основания АВС. Значит, MK \parallel (ABC).

Плоскость сечения проходит прямую МК, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости АВС параллельна прямой МК. Трапеция MKNT — искомое сечение.

3. Постройте сечение куба A\dots D_1, проходящее через вершину D_1 и середины ребер AB и BC.

Пусть М — середина АВ, N — середина ВС, MN\in \left(ABC\right). Продолжим прямую MN до пересечения с продолжениями ребер DC и AD;
\left(MN\right)\cap \left(DC\right)=K\left(MN\right)\cap \left(AD\right)=P.

Треугольники АМР и KCN — прямоугольные равнобедренные, причем AP = CK = \frac{AB}{2}.

Проведем D_1K — в плоскости задней грани и D_1P — в плоскости левой грани куба;

D_1K\cap {CC}_1=F,{D}_1P\cap AA_1=T,

Пятиугольник MNFD_{1}T — искомое сечение. В нем есть параллельные стороны: TM\parallel D_1F, \ TD_1\parallel NF, так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

4. Постройте сечение куба A\dots D1, проходящее через вершину В и середины ребер AA_1 и CC_1.

Пусть М — середина ребра AA{}_{1}, N — середина ребра CC_{1}.

Поскольку линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, плоскость сечения пересекает заднюю грань по прямой, параллельной ВМ, а левую грань — по прямой, параллельной BN. Тогда искомое сечение — ромб BND{}_{1}M.

5. Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, точку М, делящую ребро АS в отношении SM:AM = 1:2, и точку N — середину апофемы грани SBC.

Пусть SH — апофема грани SBC; N—середина SH.

Проведем MN в плоскости ASH;

\left(MN\right)\cap \left(AH\right)=P;P\in \left(ABC\right).KP\cap BC=F;FN\cap SC=E;

Четырехугольник KMEF — искомое сечение.

Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, и точки М и Т — центры граней АSС и SBC.

Пусть SЕ и SH — апофемы граней ASC и SBC; точки М и Т делят отрезки SЕ и SH в отношении 2:1, считая от точки S.

Из подобия треугольников SMT и SEH получим, что MT\parallel EH. Значит MT\parallel (ABC).

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и нижней грани параллельна прямой МТ. Это значит, что плоскость сечения пересекает грань АВС по прямой АВ. Достроим сечение.

\left(BT\right)\cap \left(SC\right)=F, где F — середина SC;

\left(AM\right)\cap SC=F; \triangle ABF — искомое сечение.

7. Постройте сечение куба A\dots D_1, проходящее через точку М, лежащую на ребре DD_1 и точки Т и К, принадлежащие граням АВС и DCC_{1}.

Точки М и К лежат в плоскости задней грани DCC{}_{1}D{}_{1}. Соединив М и К, получим, что

MK\cap CC{}_{1}=E,(MK)\cap (DC)=P.

Соединив точки Р и Т в нижней грани, получим FN — линию пересечения плоскости сечения с нижней гранью;

F\in AD,N\in BC. Трапеция FMEN — искомое сечение.

8. И самый сложный случай. Построим сечение куба A\dots D_1 плоскостью МNK, где M \in \left(BB_1C_1\right),N\in \left(AA_1D_1\right),K\in \left(ABC\right), причем расстояния от точек М и N до плоскости АВС различны.

Пусть точки M{}_{1} и N{}_{1} — проекции точек M и N на плоскость нижней грани

Плоскость (MNN{}_{1}) проходит через параллельные прямые MM{}_{1} и NN{}_{1}.

Проведем в этой плоскости MN и M{}_{1}N{}_{1};

(MN )\cap ( M{}_{1}N{}_{1})=P.

Точки Р и К лежат в нижней грани куба, следовательно, плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой РК. Дальнейшее построение — очевидно.