а) Проведём \(KP \parallel AC; \; P \in CB, \; PC=1\).
Проведём \(LR \parallel AC\), так как \((ABC)\parallel(A_1B_1C_1)\) и линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
Трапеция \(KPLR\) - искомое сечение.
Введём систему координат, запишем координаты точек.
\(B(0;0;0); \; T(0;\sqrt{3};0); \; M(0; \sqrt{3};3);\)
\(A(3; \sqrt{3};0); \; C(-3; 3\sqrt{3};0); \; K();\)
\(A_1(3; 3\sqrt{3};3); \; C_1(-3;3\sqrt{3};3); \; B_1(0;0;3).\)
\(\overrightarrow{BK}=\displaystyle \frac{5}{6}\overrightarrow{BA}.\)
Координаты точки \(K\): \(K\left(\displaystyle \frac{5}{2}; \; \displaystyle \frac{5}{2}\sqrt{3};0\right);\)
\(F\) - середина \(KP; \; F\left(0;\displaystyle \frac{5}{2}\sqrt{3};0\right);\)
\(R\) - середина \(A_1B_1; \; R\left(\displaystyle \frac{3}{2}; \; \frac{3}{2}\sqrt{3}; 3\right)\), аналогично \(\lambda \left(-\displaystyle \frac{3}{2}; -\frac{3}{2}\sqrt{3};3\right).\)
Напишем уравнение плоскости (\(KPL\)), проходящий через точки \(R, \; L\)и \(F\).
Уравнение плоскости имеет вид:
\(Ax+By+Cz+D=0\). Подставим координаты точек \(R, \; L\) и \(F\) по очереди в уравнение плоскости.
| \(\begin{matrix} R \left(\displaystyle\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\sqrt{3}\right) \\L \left(-\displaystyle\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\sqrt{3}\right) \\F \left(0;\displaystyle\frac{5}{2}\sqrt{3};0\right) \end{matrix}\) |
\(\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{3}{2}A+\frac{3}{2}\sqrt{3}B+3C+D=0, \\\displaystyle-\frac{3}{2}A+\frac{3}{2}\sqrt{3}B+3C+D=0, \\\displaystyle \frac{5}{2}\sqrt{3}B+D=0 \end{matrix}\right. \) |
из 1 и 2 уравнений \(A=0\) (вычли из первого уравнения второе).
\(3\sqrt{3}B+6C+2D=0\) (сложим оба).
Получим: \(A = 0.\)
\(\left\{\begin{matrix} 3\sqrt{3}B+6C+2D=0,\\
5\sqrt{3}B+2D=0. \end{matrix}\right.\)
Пусть \(B=2;\)
\(D=-5\sqrt{3}\); тогда \(C=\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}.\)
Получим: \( 2y+\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}z-5\sqrt{3}=0. \)
Уравнение плоскости (\(KPL\)), т. е. плоскости \(\lambda\).
\(\overrightarrow{BM}(0;3\sqrt{3};3).\)
Найдём угол между прямой \(BM\) и плоскостью \(\lambda\).
\(sin \alpha =\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{a}| \cdot | \overrightarrow{n}|}\), где
\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BM}(0;3\sqrt{3};3)\) - направляющий вектор прямой \(BM\).
\(\overrightarrow{n}\left(0; 2; \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\) - вектор нормали к плоскости \(\lambda\).
Напомним, что координаты вектора нормали \(\overrightarrow{n}(A;B;C)\) и плоскости \(\lambda\) - это коэффициенты \(A, B\) и \(C\) в уравнении плоскости \(\lambda: Ax+By+Cz+D=0.\)
\(sin \alpha = \displaystyle \frac{6\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{\sqrt{36}\cdot \sqrt{4+\frac{4}{3}}} = \displaystyle \frac{8 \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6\cdot 4}=1,\)
\(\alpha = 90^\circ, \; BM \perp \lambda.\)
б) Найдём расстояние от точки \(C(-3; 3\sqrt{3};0)\) до плоскости \(\lambda\), т. е. плоскости \(KPL\), по формуле: \(d = \displaystyle \frac{|Ax_c+By_c+Cz_c+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\)
так как \(|\overrightarrow{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\) - длина вектора нормали \(\overrightarrow{n}\) к плоскости \(\lambda\),
получим: \(d = \displaystyle \frac{(6\sqrt{3}-5\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}=0,75.\)
