previous arrow
next arrow
Slider

Стрим 22 апреля. Домашнее задание. Задание 1

 

а) Проведём KP \parallel AC;   P \in CB,   PC=1.
Проведём LR \parallel AC, так как (ABC)\parallel(A_1B_1C_1) и линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Трапеция KPLR - искомое сечение.

Введём систему координат, запишем координаты точек.

B(0;0;0); T(0;\sqrt{3};0); M(0; \sqrt{3};3)

A(3; \sqrt{3};0); C(-3; 3\sqrt{3};0); K()
A_1(3; 3\sqrt{3};3); C_1(-3;3\sqrt{3};3); B_1(0;0;3)

\overrightarrow{BK}=\frac{5}{6}\overrightarrow{BA};

Координаты точки К: K(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}\sqrt{3};0);

F - середина KP; F(0;\frac{5}{2}\sqrt{3};0)

R - середина A_1B_1; R(\frac{3}{2};    \frac{3}{2}\sqrt{3}; 3), аналогично \lambda (-\frac{3}{2}; -\frac{3}{2}\sqrt{3};3)

Напишем уравнение плоскости (KPL), проходящий через точки R, L и F.

Уравнение плоскости имеет вид:

Ax+By+Cz+D=0. Подставим координаты точек R, L и F по очереди в уравнение плоскости.

R (\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\sqrt{3})

L (-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\sqrt{3})

F (0; \frac{5}{2}\sqrt{3};0)

                       \left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}A+\frac{3}{2}\sqrt{3}B+3C+D=0\\ \,\\ -\frac{3}{2}A+\frac{3}{2}\sqrt{3}B+3C+D=0\\ \,\\\frac{5}{2}\sqrt{3}B+D=0\end{matrix}\right.

 

из 1 и 2 уравнений A=0

(вычли из первого уравнения второе)

3\sqrt{3}B+6C+2D=0 (сложим оба).
Получим: A = 0.

\left\{\begin{matrix} 3\sqrt{3}B+6C+2D=0\\5\sqrt{3}B+2D=0 \end{matrix}\right.;

Пусть B=2
D=-5\sqrt{3}; тогда C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}

Получим: 2y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z-5\sqrt{3}=0
Уравнение плоскости (KPL), т.е. плоскости \lambda.

\overrightarrow{BM}(0;3\sqrt{3};3)

Найдём угол между прямой BM и плоскостью \lambda.

sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{a}| \cdot | \overrightarrow{n}|}, где

\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BM}(0;3\sqrt{3};3) - направляющий вектор прямой BM

\overrightarrow{n}(0; 2; \frac{2\sqrt{3}}{3}) - вектор нормали к плоскости \lambda.

Напомним, что координаты вектора нормали \overrightarrow{n}(A;B;C) и плоскости \lambda - это коэффициенты A, B и C в уравнении плоскости \lambda: Ax+By+Cz+D=0

sin \alpha = \frac{6\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{\sqrt{36}\cdot \sqrt{4+\frac{4}{3}}} = \frac{8 \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6\cdot 4}=1,

\alpha = 90^\circ, BM \perp \lambda

б) найдём расстояние от точки C(-3; 3\sqrt{3};0) до плоскости \lambda, т. е. плоскости KPL, по формуле: d = \frac{|Ax_c+By_c+Cz_c+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

так как |\overrightarrow{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\frac{4}{\sqrt{3}} - длина вектора нормали \overrightarrow{n} к плоскости \lambda,

получим: d = \frac{(6\sqrt{3}-5\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}=0,75