Стрим 22 апреля. Домашнее задание. Задание 1

а) Проведём $KP \parallel AC$ ; $P \in CB$ , $PC=1$ .
Проведём $LR \parallel AC$ , так как $(ABC)\parallel(A_1B_1C_1)$ и линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Трапеция $KPLR$ - искомое сечение.

Введём систему координат, запишем координаты точек.

$B(0;0;0); T(0;\sqrt{3};0); M(0; \sqrt{3};3)$

$A(3; \sqrt{3};0); C(-3; 3\sqrt{3};0); K()$
$A_1(3; 3\sqrt{3};3); C_1(-3;3\sqrt{3};3); B_1(0;0;3)$

$\overrightarrow{BK}=\frac{5}{6}\overrightarrow{BA}$ ;

Координаты точки К: $K(\frac{5}{2}; \frac{5}{2}\sqrt{3};0)$ ;

F - середина KP; $F(0;\frac{5}{2}\sqrt{3};0)$

R - середина $A_1B_1; R(\frac{3}{2}$ ; $\frac{3}{2}\sqrt{3}; 3)$ , аналогично $\lambda (-\frac{3}{2}; -\frac{3}{2}\sqrt{3};3)$

Напишем уравнение плоскости (KPL), проходящий через точки R, L и F.

Уравнение плоскости имеет вид:

$Ax+By+Cz+D=0$ . Подставим координаты точек R, L и F по очереди в уравнение плоскости.

$R (\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\sqrt{3})$

$L (-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\sqrt{3})$

$F (0; \frac{5}{2}\sqrt{3};0)$

$\left\{\begin{matrix}\frac{3}{2}A+\frac{3}{2}\sqrt{3}B+3C+D=0\\ \,\\ -\frac{3}{2}A+\frac{3}{2}\sqrt{3}B+3C+D=0\\ \,\\\frac{5}{2}\sqrt{3}B+D=0\end{matrix}\right.$

из 1 и 2 уравнений A=0

(вычли из первого уравнения второе)

$3\sqrt{3}B+6C+2D=0$ (сложим оба).
Получим: A = 0.

$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt{3}B+6C+2D=0\\5\sqrt{3}B+2D=0 \end{matrix}\right.$ ;

Пусть $B=2$
$D=-5\sqrt{3}$ ; тогда $C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Получим: $2y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z-5\sqrt{3}=0$
Уравнение плоскости (KPL), т.е. плоскости $\lambda$ .

$\overrightarrow{BM}(0;3\sqrt{3};3)$

Найдём угол между прямой BM и плоскостью $\lambda$ .

$sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{a}| \cdot | \overrightarrow{n}|}$ , где

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BM}(0;3\sqrt{3};3)$ - направляющий вектор прямой BM

$\overrightarrow{n}(0; 2; \frac{2\sqrt{3}}{3})$ - вектор нормали к плоскости $\lambda$ .

Напомним, что координаты вектора нормали $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ и плоскости $\lambda$ - это коэффициенты A, B и C в уравнении плоскости $\lambda: Ax+By+Cz+D=0$

$sin \alpha = \frac{6\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{\sqrt{36}\cdot \sqrt{4+\frac{4}{3}}} = \frac{8 \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{6\cdot 4}=1$ ,

$\alpha = 90^\circ, BM \perp \lambda$

б) найдём расстояние от точки $C(-3; 3\sqrt{3};0)$ до плоскости $\lambda$ , т. е. плоскости KPL, по формуле: $d = \frac{|Ax_c+By_c+Cz_c+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

так как $|\overrightarrow{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ - длина вектора нормали $\overrightarrow{n}$ к плоскости $\lambda$ ,

получим: $d = \frac{(6\sqrt{3}-5\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}=0,75$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Стрим 22 апреля. Домашнее задание. Задание 1» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 12.05.2023

Стрим 22 апреля. Домашнее задание. Задание 1

Это полезно