Так как \(2^{|y|} \geq 1\) и \( \left|\displaystyle\frac{\pi x}{2}\right| \leq 1\) (метод оценки), второе уравнение имеет решение, только если
\( \left\{\begin{matrix} sin^2 \pi p =0,
\\ sin^2 \pi x =0,
\\ y=0 ,
\\ \left|\displaystyle\frac{\pi x}{2}\right| =1; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\pi p = \displaystyle\frac{\pi}{n}, \, n \in Z,
\\ \pi x = \displaystyle\frac{\pi}{k}, \, k \in Z ,
\\ y=0 ,
\\ \displaystyle\frac{\pi x}{2} = \displaystyle\frac{\pi}{2} + \pi m , \, m \in Z; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}p=n,
\\ x=k,
\\ y=0,
\\x=1+2m. \end{matrix}\right. \)
Это значит, что уравнение \(x^2+px+2=0\) должно иметь нечетный целый корень при целом \(p\).
Применим теорему Виета:
\(x_1x_2=2, \, x_1 + x_2 = -p.\)
Сумма корней и их произведение – целые числа, один из корней – целое число. Значит, и другой корень этого уравнения является целым числом.
Возможны только два случая: корни уравнения равны –1 и –2 или 1 и 2.
Тогда \(p=3\) или \(p=-3\).
