Стрим 22 апреля. Домашнее задание. Задание 2

Так как $2^{|y|} \geq 1$ и $|\frac{\pi x}{2}| \leq 1$ (метод оценки), второе уравнение имеет решение, только если

$\left\{\begin{matrix} sin^2 \pi p =0 \hfill\\ sin^2 \pi x =0 \hfill\\ y=0 \hfill\\ |\frac{\pi x}{2}| =1 \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\pi p = \frac{\pi}{n}, \, n \in Z \hfill\\ \pi x = \frac{\pi}{k}, \, k \in Z \hfill\\ y=0 \hfill\\ \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m , \, m \in Z \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}p=n \hfill\\ x=k \hfill\\ y=0 \hfill\\x=1+2m \hfill\end{matrix}\right.$

Это значит, что уравнение $x^2+px+2=0$ должно иметь нечетный целый корень при целом p.

Применим теорему Виета:

$x_1x_2=2, \, x_1 + x_2 = -p,$

Сумма корней и их произведение – целые числа, один из корней – целое число. Значит, и другой корень этого уравнения является целым числом.

Возможны только два случая: корни уравнения равны –1 и –2 или 1 и 2.

Тогда $p=3$ или $p=-3$ .

Стрим 22 апреля. Домашнее задание. Задание 2

Это полезно