6. Решите неравенство: \(\displaystyle\frac{\left | x^2+2x-3 \right |-\left | x^2+3x+5 \right |}{2x+1}\geq 0\)
Решение.
Согласно методу рационализации, множитель вида \(|f|-|g|\) заменить на \(f^2- g^2\)
(не забудьте на ЕГЭ доказать возможность такой замены!)
Учитывая, что \(f^2- g^2=(f-g)(f+g)\), получим:
\(\displaystyle\frac{(x^2+2x-3- x^2-3x-5)(x^2+2x-3+ x^2+3x+5)}{2x+1}\geq 0;\)
\(\displaystyle\frac{(-x-8) (2x^2+5x+2)}{2x+1}\geq 0;\)
\(\displaystyle\frac{(x+8) (2x^2+5x+2)}{2x+1}\leq 0;\)
\(\displaystyle\frac{(x+8)(x+\frac{1}{2})(x+2)}{2x+1}\leq 0.\)
Решив методом интервалов, получим: \(-8 \leq x \leq -2.\)
Ответ: \( [-8;-2] \).
7. Решите неравенство: \(\displaystyle\frac{\left ( 4x-\left | x-6 \right | \right )\left ( log_{1/3}\left ( x+4 \right )+1 \right )}{2^{x^2 }-2^{\left | x \right |}}\geq 0.\)
Решим неравенство методом замены множителя.
Множитель \(2^{x^2}-2^{|x|}\) можно заменить на \( (2-1)(x^2-|x|)\)
(не забудьте доказать соответствующую формулу).
Множитель \(log_{1/3}(x+4)+1=1-log_{3}(x+4)=-(log_{3}(x+4) -1)\) заменим на
\(- (3-1)(x+4-3)=-2(x+1).\)
Получим:
\(\displaystyle\frac{(4x-|x-6|)(x+1)}{(x^2-|x|)} \geq 0.\)
Конечно, при этом \(x+4 > 0\).
Разложив знаменатель на множители, получаем:
\(\displaystyle\frac{(4x-|x-6|)(x+1)}{|x|(|x|-1)}\geq 0\).
Решим неравенство с помощью метода интервалов для модулей, раскрыв модули на интервалах. С учетом условия \( x+4 > 0\) получим ответ:
\(1 < x \leq \displaystyle\frac{6}{5}\).
Ответ: \( \left(1; \displaystyle\frac{6}{5}\right] \).
