Стрим 6 мая, решение домашнего задания

1. Найдите значение выражения $\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2}$ при $2 \leq a \leq 4$ .

$\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2} = |a-2|+|a-4|$ .

Если $2 \leq a \leq 4$ , то $a-2 \geq 0$ и $|a-2|=a-2$ .

При этом $a-4 \leq 0$ и $|a-4|=4-a$ .

При $2 \leq a \leq 4$ получаем: $|a-2|+|a-4|=a-2+4-a=2.$

Ответ: 2.

2. Решите неравенство $\sqrt{2(10+x)}\geq x-2$

$\sqrt{20+2x}\geq x-2 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}2 \leq x \leq 8 \hfill \\-10 \leq x\, \textless\, 2 \hfill \\\end{array}\right. \Leftrightarrow -10 \leq x \leq 8.$

Ответ: $x \in [-10; 8]$

3. Решите неравенство: $lg^2 \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \textless lg^2 \frac{x+5}{20}$

Извлекать корень из неравенства нельзя! Соберем все выражения в левой части неравенства и разложим на множители как разность квадратов:

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$\left ( lg \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}+lg \frac{x+5}{20} \right ) \textless 0$

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку $x+5$ положительно, то и выражение $(x+2)^2$ должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства $(x+2)^2 \textgreater 0$ – это все числа, кроме $x= - 2$ .

Получим:

$\left\{\begin{matrix}lg(4 \cdot (x+2)^2) \cdot lg \left ( {(x+2)^2 \cdot (x+5)^2}\over{100} \right ) \, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right.$

По методу рационализации, каждый из множителей вида $log_{h}f$ заменяем на $(h-1)(f-1)$ .

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+4-1)(2x+4+1)((x+2)(x+5)-10)((x+2)(x+5)+10) \, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+3)(2x+5)\cdot x \cdot (x+7)\cdot(x^2+7x+20)\, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+3)(2x+5)\cdot x \cdot (x+7)\, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

Выражение $x^2+7x+20$ положительно всегда – так как в уравнении $x^2+7x+20=0$ дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: $x \in (-5;-\frac{5}{2}) \cup (-\frac{3}{2};0)$ .

Стрим 6 мая, решение домашнего задания

Это полезно