1. Найдите значение выражения \(\sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2}\) при \(2 \leq a \leq 4\).
\( \sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2} = |a-2|+|a-4|\).
Если \(2 \leq a \leq 4\), то \(a-2 \geq 0\) и \(|a-2|=a-2\).
При этом \(a-4 \leq 0\) и \(|a-4|=4-a\).
При \(2 \leq a \leq 4\) получаем: \(|a-2|+|a-4|=a-2+4-a=2.\)
Ответ: 2.
2. Решите неравенство; \(\sqrt{2(10+x)}\geq x-2.\)
\(\sqrt{20+2x}\geq x-2 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x-2\geq 0, \\20+2x\geq (x-2)^{2},
\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}
x-2< 0, \\20+2x\geq 0;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x\geq 2, \\x^{2}-4x+4-2x-20\leq 0,
\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}
x< 2, \\x\geq -10;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x\geq 2, \\x^{2}-6x-16\leq 0,
\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}
x< 2, \\x\geq -10;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
\left\{\begin{matrix}
x\geq 2, \\(x+2)(x-8)\leq 0,
\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}
x< 2, \\x\geq -10;
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{ccc}
2 \leq x \leq 8 \hfill \\
-10 \leq x< \, 2 \hfill \\
\end{array}
\right. \Leftrightarrow -10 \leq x \leq 8.\)
Ответ: \( x \in [-10; 8].\)
3. Решите неравенство: \(lg^2 \displaystyle \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}< lg^2 \frac{x+5}{20}.\)
Извлекать корень из неравенства нельзя! Соберем все выражения в левой части неравенства и разложим на множители как разность квадратов:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b);\)
\(\left ( lg \displaystyle \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg \displaystyle \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}+lg \frac{x+5}{20} \right )< 0.\)
Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.
\(\left\{\begin{matrix}
lg\displaystyle \frac{(x+2)^{2}(x+5)\cdot 20}{5(x+5)}\cdot lg\left(\displaystyle \frac{(x+2)^{2}(x+5)^{2}}{100}\right)< 0, \\(x+2)^{2}(x+5)> 0,
\\x+5> 0.
\end{matrix}\right. \)
Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку \(x+5\) положительно, то и выражение \((x+2)^2\) должно быть положительно.
Заметим, что решения неравенства \( (x+2)^2 > 0 \) – это все числа, кроме \( x= - 2 \).
Получим:
\(\left\{\begin{matrix}lg(4 \cdot (x+2)^2) \cdot lg \left ( \displaystyle {(x+2)^2 \cdot (x+5)^2}\over{100} \right ) <0,
\\ x, > -5 ,
\\ x \ne -2. \end{matrix}\right. \)
По методу рационализации, каждый из множителей вида \(log_{h}f\) заменяем на \((h-1)(f-1)\).
\(\left\{\begin{matrix}
(10-1)\cdot (4(x+2)^{2}-1)\cdot (10-1)\cdot \left(\displaystyle\frac{(x+2)^{2}\cdot (x+5)^{2}}{100}-1\right)< 0,\\x> -5,
\\x\neq -2;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+4-1)(2x+4+1)((x+2)(x+5)-10)((x+2)(x+5)+10) < 0,
\\ x > -5,
\\ x \ne -2; \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+3)(2x+5)\cdot x \cdot (x+7)\cdot(x^2+7x+20)< 0,
\\ x > -5 ,
\\ x \ne -2;\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+3)(2x+5)\cdot x \cdot (x+7) < 0,
\\ x > -5 ,
\\ x \ne -2 .\end{matrix}\right. \Leftrightarrow\)
Выражение \(x^2+7x+20\) положительно всегда – так как в уравнении \(x^2+7x+20=0\) дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.
Ответ: \(x \in \left(-5;\displaystyle -\frac{5}{2}\right) \cup \left(-\displaystyle \frac{3}{2};0\right)\).
