previous arrow
next arrow
Slider

Стрим 6 мая, решение домашнего задания

1. Найдите значение выражения \sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2} при 2 \leq a \leq 4.

 \sqrt{(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2} = |a-2|+|a-4|.

Если 2 \leq a \leq 4, то a-2 \geq 0 и |a-2|=a-2.

При этом a-4 \leq 0 и |a-4|=4-a.

При 2 \leq a \leq 4 получаем: |a-2|+|a-4|=a-2+4-a=2.

Ответ: 2.

2. Решите неравенство \sqrt{2(10+x)}\geq x-2

\sqrt{20+2x}\geq x-2 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}2 \leq x \leq 8 \hfill \\-10 \leq x\, \textless\, 2 \hfill \\\end{array}\right. \Leftrightarrow -10 \leq x \leq 8.

Ответ: x \in [-10; 8]

3. Решите неравенство: lg^2 \frac{(x+2)^2(x+5)}{5} \textless lg^2 \frac{x+5}{20}

Извлекать корень из неравенства нельзя! Соберем все выражения в левой части неравенства и разложим на множители как разность квадратов:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

\left ( lg \frac{(x+2)^2(x+5)}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg\frac{(x+2)^2(x+5)}{5}+lg \frac{x+5}{20} \right ) \textless 0

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений.  Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку x+5 положительно, то и выражение (x+2)^2 должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства (x+2)^2 \textgreater 0 – это все числа, кроме x= - 2 .

Получим:

\left\{\begin{matrix}lg(4 \cdot (x+2)^2) \cdot lg \left ( {(x+2)^2 \cdot (x+5)^2}\over{100} \right ) \, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right.

По методу рационализации, каждый из множителей вида log_{h}f заменяем на (h-1)(f-1).

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+4-1)(2x+4+1)((x+2)(x+5)-10)((x+2)(x+5)+10) \, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+3)(2x+5)\cdot x \cdot (x+7)\cdot(x^2+7x+20)\, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2x+3)(2x+5)\cdot x \cdot (x+7)\, \textless \, 0\\ x \, \textgreater \, -5 \hfill\\ x \ne -2 \hfill\end{matrix}\right. \Leftrightarrow

Выражение x^2+7x+20 положительно всегда – так как в уравнении x^2+7x+20=0 дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Ответ: x \in (-5;-\frac{5}{2}) \cup (-\frac{3}{2};0).