1. При каких значениях параметра \(a\) система имеет единственное решение \((x_0,y_0,z_0)\)?
\(
\begin{cases}
2^x+2^{\frac{4}{x}}=(a^2-4)^2+y^2+8 \\
|y|\cdot z^4+2z^2-a^2z+a+4=0
\end{cases}
\)
Решение:
В этой системе три переменных и всего 2 уравнения.
- 1) Уравнения системы четны относительно y, и если тройка чисел \((x_0,y_0,z_0)\) — решение, то и тройка \((x_0,-y_0,z_0)\) — тоже решение. Вместе с каждым решением \((x_0,y_0,z_0)\) возникает также решение \((x_0,-y_0,z_0)\). Единственное решение может быть, только если \(y=0\). Это одно из необходимых условий.
Мы воспользовались четностью уравнений системы относительно у.
- 2) В первом уравнении системы \((a^2-4)^2+y^2+8 \geqslant 8 -\) левая часть.
Значит, и правая его часть не меньше 8, \(2^x+2^{\frac{4}{x}} \geqslant 8. \)
Покажем, что условие \(2^x+2^{\frac{4}{x}} \geqslant 8 \) выполняется только при \(x>0.\)
ОДЗ этого неравенства: \(x\neq 0.\)
Если \(x>0,\) то \(2^x<1\) и \(2^{\frac{4}{x}}<1;\) тогда \(2^x+2^{\frac{4}{x}} < 2 < 8. \) Значит, \(x>0.\)
Заметим, что при \(x>0\) функция \(f(x)=2^x+2^{\frac{4}{x}}\) принимает одинаковые значения при \(x=x_0\) и \(x=\frac{4}{x_0}.\) Тогда уравнение \(2^x+2^{\frac{4}{x}} =c\) имеет два решения, причем оба положительны.
Уравнение \(2^x+2^{\frac{4}{x}} =c\) может иметь единственное положительное решение, если \(x=\frac{4}{x}\) (воспользовались методом симметрии).
Это значит, что \(x^2=4\). Положительное решение этого уравнения: \(x=2.\)
Если \(x=2,\) то \(2^x+2^{\frac{4}{x}} =8,\) и система может иметь единственное решение. Мы нашли второе необходимое условие.
Получается, что исходная система может иметь единственное решение, если это решение вида \((2; 0; z). \)
Подставим \(x = 2\) и \(y = 0\) в первое уравнение: \(2^x+2^{\frac{4}{x}}=(a^2-4)^2+y^2+8.\)
\(8=(a^2-4)^2+8; (a^2-4)^2=0,\)
\(a^2=4,\) тогда \(a=2\) или \(a=-2.\)
Теперь второе уравнение исходной системы.
Если \(y=0,\) оно выглядит так:
\(2z^2-a^2z+a+4=0\)
Это квадратное уравнение относительно z; оно имеет единственное решение, если \(D=0.\)
\(D=a^4-8(a+4)=0.\)
Подставив \(a=2,\) получим: \(16-8\cdot6<0, a=2\) не подходит. Подставив \(a=-2,\) получим \(16-8\cdot2=0.\) Тогда \(z=\frac{4}{4}=1.\) Покажем, что при \(a=-2\) нет других решений, кроме тройки чисел (2;0;1). Подставим \(a=-2\) в исходную систему.
\(
\begin{cases}
2^x+2^{\frac{4}{x}}=y^2+8 \\
|y|\cdot z^4+2z^2-4z+2=0
\end{cases}
\)
Второе уравнение: \(|y|\cdot z^4+2(z-1)^2=0.\)
Оба слагаемые неотрицательны, значит, \(|y|\cdot z^4=0\) и \((z-1)^2=0.\)
Тогда \(z=1,y=0,\) из первого уравнения \(x=2,\) система имеет единственное решение.
Ответ: а = - 2
2. Найдите все значения a, при каждом из которых система
\(\left\{\begin{matrix} 3\left | x-2a \right |+2\left | y-a \right |=6\\xy-x-2y+2=0 \hfill \end{matrix}\right.\)
имеет ровно три различных решения.
Решение.
\(\left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6 \hfill \\xy-x-2y+2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6\hfill \\(x-2)(y-1)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6 \hfill \\ \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \hfill \\ y=1 \hfill \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.\)
Мы разложили второе уравнение на множители: \(xy-x-2y+2=x(y-1)-2(y-1)=(x-2)(y-1)\)
Первое уравнение системы задаёт ромб с диагоналями, параллельными осям координат; горизонтальная диагональ равна 4, вертикальная диагональ равна 6.
Центр ромба находится в точке \(p(2a;a)\), то есть лежит на прямой \(y=\frac{x}{2}\).
Мы нашли координаты центра ромба, сказав,что \(x_p =2a, y_p =a,\) отсюда \(y_p = \frac{x_p}{2}\)
Система имеет ровно 3 различных решения, если ромб, заданный первым уравнением, имеет ровно 3 общие точки с совокупностью прямых \(\left[
\begin{array}{ccc}
x=2 \hfill \\
y=1 \hfill \\
\end{array}
\right.\)
Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая \(x=2\) проходит через одну из вершин ромба. Это происходит, если \(a=0\) или \(a=2.\)
В этом случае расстояние от центра ромба до прямой \(x=2\) равно 2.
2) Случай, когда расстояние от центра ромба до прямой \(y=1\) равно 3, не подходит. В этом случае ромб не имеет общих точек с прямой \(x=2.\)
3) Случай, когда точка M пересечения прямых \(y=1\) и \(x=2\) лежит на одной из сторон ромба. Это значит, что координаты точки M \(x_M=2\) и \(y_M=1\) - удовлетворяют уравнению, задающему ромб. Подставив их в уравнение, получим:
\(3|2-2a|+2|1-a|=6\)
\(6|a-1|+2|a-1|=6\)
\(|a-1|=\frac{3}{4}\)
\(a=\frac{1}{4}\) или \(a=\frac{7}{4}\)
Ответ: \( 0; \frac{1}{4}; \frac{7}{4}; 2.\)
3. При каких значениях параметра а система имеет хотя бы одно решение?
\(\left\{\begin{matrix} 2cos \, x+asin \, y=1 \hfill\\ log_{z}\, sin\, y=log_{z}a\cdot log_a\left ( 2-3cos\, x \right )\\ log_{a}z+log_{a}\left ( \frac{1}{2a}-1 \right )=0 \hfill \end{matrix}\right.\)
Решение.
Выпишем ОДЗ системы:
\(\left\{\begin{matrix} sin\, y\, \textgreater\, 0\hfill \\ a \textgreater\, 0 ,\: a\ne1 \hfill \\ 2-3cos\, x\, \textgreater\, 0 \hfill \\ z\, \textgreater\, 0,\: z\ne1 \hfill \\ \frac{1}{2a}-1\, \textgreater\, 0 \end{matrix}\right. ;\: \left\{\begin{matrix} sin\, x\, \textgreater\, 0\hfill \\ 0\, \textless\, a\, \textless\, \frac{1}{2} \hfill \\2-3cos\, x\, \textgreater\, 0 \hfill \\ z\, \textgreater\, 0,\: z\ne1 \hfill \end{matrix}\right.\)
При выполнении этих условий преобразуем уравнение исходной системы:
\(\left\{\begin{matrix} 2cos\, x+a\, sin\, y=1\hfill \\ \frac{log_z sin\, y}{log_z a}=log_a (2-3cos\, x) \hfill \\ log_a(z\cdot (\frac{1}{2a}-1))=0 \hfill \end{matrix}\right.\)
Во втором уравнении применим формулу перехода к другому основанию:
\(\frac{log_c b}{log_c a}=log_a b;\)
\(log_a sin\, y=log_a(2-3cos\, x);\)
\(sin\, y=2-3cos\, y.\)
В уравнении 3 представим 0 как \(log_a 1.\)
Получим: \(z(\frac{1}{2a}-1)=1\)
С учётом ОДЗ система примет вид:
\(\left\{\begin{matrix} sin\, y\, \textgreater \, 0\hfill \\ 0\, \textless\,a\,\textless\,\frac{1}{2} \hfill \\2-3cos\,x\,\textgreater\,0 \hfill \\sin\,y=2-3cos\,x \hfill \\2cos\,x+asin\,y=1 \: \: \: \:\: (*) \hfill \\z\,\textgreater\,0, \,z\ne1 \hfill \\z(\frac{1}{2a}-1)=1. \hfill \end{matrix}\right.\)
Подставим \(sin\, y=2-3cos\,x\) в уравнение (*). Получим:
\(2cos\,x+2a-3 a \, cos\,x=1\)
Отсюда \(cos\,x=\frac{2a-1}{3a-2}=\frac{1-2a}{2-3a}\)
Из условия \(2-3cos\, x\, \textgreater\,0\) имеем: \(cos\,x \textless \, \frac{2}{3}\).
Так как \(cos\, x \in [-1;1]\), имеем:
\(-1 \leq \frac{2a-1}{3a-2} \,\textless \, \frac{2}{3}\)
\(\left\{\begin{matrix} \frac{2a-1}{3a-2}\geq-1\hfill \\\frac{2a-1}{3a-2} \textless \frac{2}{3} \end{matrix}\right.\)
При \(0\, \textless \, a\, \textless\, \frac{1}{2}\) оба неравенства выполняются.
Рассмотрим также условие
\(0\, \textless \,sin\,y \leq 1.\)
Из уравнения \(sin\,y=2-3cos\,x\) имеем:
\(sin\,y =2-3 \cdot \frac{2a-1}{3a-2}=\frac{6a-4-6a+3}{3a-2}=-\frac{1}{3a-2}=\frac{1}{2-3a}\)
Условие \(2-3a\,\textgreater\,\) выполнено при \(0\,\textless a\, \textless \, \frac{1}{2}.\)
Проверим: \(\frac{1}{2-3a} \leq 1\)
\(1 \leq 2-3a; \, \, \, 3a \leq 1; \, \, \,a \leq \frac{1}{3}\)
Значит, \(0\, \textless \, a\leq \frac{1}{3}.\)
Осталось условие \(z\ne1.\)
Из уравнения \(z(\frac{1}{2a}-1)=1\)
Получим: \(z \cdot \frac{1-2a}{2a}=1,\)
\(z= \frac{2a}{1-2a} \ne 1; \, \, \, a \ne \frac{1}{4}.\)
Ответ: \(a \in (0; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; \frac{1}{3}]\)
4. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна \(4 \sqrt{2}\). Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины А и С на ребро SB опущены перпендикуляры АР и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
Решение.
а) Покажем, что Р – середина BQ.
Поскольку ABCD – прямоугольник, его диагонали равны, AC=BD. Точка О – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, AO=OC=OB=OD, тогда
SA=SB=SC=SD. Наша пирамида не является правильной, но все ее боковые ребра равны.
Значит, треугольники АSB и BSC – равнобедренные.
Пусть b – боковое ребро пирамиды.
Заметим, что \(\triangle APB \sim \triangle SHB\), где SH - апофема боковой грани.
\(cos \varphi = cos \angle SBA\);
\(\frac{PB}{AB} = \frac{AB}{2\cdot b}\);
Тогда \(PB=\frac{AB^2}{2\cdot b}=\frac{16}{2b}\)
Аналогично, рассмотрев треугольник SBC,получим, что
\(BQ = \frac{BC^2}{2\cdot b} = \frac{32}{2b},\)
Тогда \(BQ=2PB\), точка Р - середина BQ.
б) Найдем угол между SBA и SBС,если SD=b=8.
AР и СQ – перпендикуляры к SB, проведенные в плоскостях SAB и SBC, точка P – середина BQ.
Пусть F – середина ВС, тогда PF – средняя линия \(\triangle BQC,\)
\(PF \parallel QC,PF \perp SB. \)
Угол APF найдем из треугольника APF.
Из \(\triangle ABF: \, \, AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{16+8}=2\sqrt{6}.\)
Если \(SD=b=8, \, PB=1,\) то \(AP= \sqrt{AP^2-PB^2}=\sqrt{15},\)
\(BQ=2.\)Тогда \(QC=\sqrt{BC^2-BQ^2}=\sqrt{32-4}=2\sqrt{7}.
PF=1/2 QC=\sqrt7.\)
В треугольнике APF по теореме косинусов
\(AF^2=AP^2+PF^2-2AP\cdot PF\cdot cos\angle APF;\)
\(24=15+7-2\cdot\sqrt{15}\cdot\sqrt{7}\cdot cos\angle APF;\)
\(cos\angle APF=\frac{-1}{\sqrt{105}}\)
Поскольку угол между плоскостями – это меньший из углов, ими образуемых, угол \(\varphi\) между плоскостями АSB и BSC – это угол, смежный с углом APF;
\(cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{105}},\)
\( \varphi =arccos\frac{1}{\sqrt{105}}.\)
5. Решите неравенство: \(log_{x^2}\left ( 3-x \right )\leq log_{x+2}\left ( 3-x \right ).\)
Решение.
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix} 3-x\, \textgreater \,0 \hfill \\ x^2\ne0 \hfill \\x^2\ne1 \hfill \\x+2\, \textgreater \,0 \hfill \\ x+2\ne1 \end{matrix}\right. ;\: \: \left\{\begin{matrix} -2\, \textless \, x\, \textless \,3 \hfill \\ x\ne0,\: x\ne1, \hfill \\ x\ne-1 \hfill \end{matrix}\right.\)
1) Рассмотрим случай \(3-x=1\), тогда \(x=2\).
Получим: \(log_4 1 = log_4 1\), тождество.
2) Пусть \(3-x \ne1\). Применим формулу \(log_a b = \frac{1}{log_b a}\)
\(\frac{1}{log_{3-x}x^2} - \frac{1}{log_{3-x}(x+2)} \leq 0\)
\(\frac{log_{3-x}(x+2)-log_{3-x}x^2}{log_{3-x}x^2 \cdot log_{3-x}(x+2)} \leq 0\)
Применяя метод рационализации и учитывая ОДЗ и условие \(3-x \ne 1\), получим:
\(\left\{\begin{matrix} -2 \, \textless \, x \, \textless \, 3 \hfill \\x\ne1,\: x\ne2 \hfill \\ x\ne0,\: x\ne-1 \hfill \\ \frac{(2-x)(x+2-x^2)}{(2-x)(2-x)(x^2-1)(x+1)}\leq0 \hfill \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} -2 \, \textless \, x \, \textless \, 3 \hfill \\ x\ne1, \, \, x\ne2, \, \, x\ne0, \, \,x\ne-1 \hfill \\ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)}\leq0 \hfill\end{matrix}\right.\)
Решая систему и объединяя с ответом в случае (1), получим:
\(x\in (-1;0)\cup (0;1)\cup \left \{ 2 \right \}.\)
6. а) Решите уравнение \(\sqrt{2}\, cos\left ( 8x \right )cos\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=2cos\frac{\pi}{4}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; 5\pi]\)
Решение.
а) Так как \(cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},\) получим:
\(\sqrt{2} cos \, 8x \cdot cos (x+ \frac{\pi}{4})=\sqrt{2},\)
\(cos \,8x \cdot cos (\frac{\pi}{4})=1.\)
Каждый из множителей в левой части уравнения по модулю не больше 1:
\(|cos \, 8x| \leq 1, \)
\(|cos (x+ \frac{\pi}{4})| \leq 1.\)
их произведение равно 1, только если
\(\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}cos\, 8x=1 \hfill \\cos (x+ \frac{\pi}{4})=1 \end{matrix}\right. \hfill \\ \left\{\begin{matrix}cos\, 8x=-1 \hfill \\ cos (x+ \frac{\pi}{4})=-1 \hfill \end{matrix}\right. \end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}8x=2\pi n, \, n\in Z \hfill \\x+ \frac{\pi}{4} =2\pi k, \, k\in Z \end{matrix}\right. \hfill \\\left\{\begin{matrix}8x= \pi+2\pi n \hfill \\ x=\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi k \end{matrix}\right. \hfill \end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{4},\, n\in Z \hfill \\x= - \frac{\pi}{4}+2\pi k, \, k \in Z \end{matrix}\right. (1) \hfill \\\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \hfill \\ x=\ - \frac{\pi}{4}+\pi +2 \pi k \end{matrix}\right. \hfill (2) \end{array} \right.\)
Система (1):
\(\frac{\pi n}{4}= - \frac{\pi}{4}+2\pi k \, \, n, k \in Z\)
\(n = -1+8k,\) тогда \(x= - \frac{\pi}{4}+2\pi k ,\, k \in Z.\)
Система (2):
\(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi k ,\,\, n,k \in Z.\)
\( \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{n}{4} = 1+2k, \)
\(\frac{1}{2} + n =3 +8k, \, \, \, n,k \in Z.\)
Уравнение не имеет целых решений, так как левая часть — не целое число, правая — целое.
Получим ответ в пункте (a):
\(x= - \frac{\pi}{4}+2 \pi k ,\, k \in Z.\)
б) Отберём корни на отрезке \([-3\pi; 5\pi)\) с помощью двойного неравенства.
\(-3 \pi \leq \ -\frac{\pi}{4}+2 \pi k \leq 5\pi\)
\(-12 \leq -1+8k \leq 20\)
\(-11 \leq 8k \leq 21\)
\(- \frac{11}{8} \leq k \leq \frac{21}{8};\)
\(k= -1; 0; 1; 2\)
\(x= - \frac{9\pi}{4}; - \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{15 \pi}{4}\)
