previous arrow
next arrow
Slider

Стрим «Нерешаемые задачи ЕГЭ по математике.» Решения

 

2. Предложили Злата Найденышева и Алексей Корнелюк независимо друг от друга

Найдите все значения a, при каждом из которых система

\left\{\begin{matrix} 3\left | x-2a \right |+2\left | y-a \right |=6\\xy-x-2y+2=0 \hfill \end{matrix}\right.

имеет ровно три различных решения.

Решение.

\left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6 \hfill \\xy-x-2y+2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6\hfill \\(x-2)(y-1)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6 \hfill \\ \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \hfill \\ y=1 \hfill \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.

Мы разложили второе уравнение на множители: xy-x-2y+2=x(y-1)-2(y-1)=(x-2)(y-1)

Первое уравнение системы задаёт ромб с диагоналями, параллельными осям координат; горизонтальная диагональ равна 4, вертикальная диагональ равна 6.

Центр ромба находится в точке p(2a;a), то есть лежит на прямой y=\frac{x}{2}.

Мы нашли координаты центра ромба, сказав,что x_p =2a, y_p =a, отсюда y_p = \frac{x_p}{2}

Система имеет ровно 3 различных решения, если ромб, заданный первым уравнением, имеет ровно 3 общие точки с совокупностью прямых \left[\begin{array}{ccc}x=2 \hfill \\y=1 \hfill \\\end{array}\right.

Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая x=2 проходит через одну из вершин ромба. Это происходит, если a=0 или a=2.

В этом случае расстояние от центра ромба до прямой x=2 равно 2.

2) Случай, когда расстояние от центра ромба до прямой y=1 равно 3, не подходит. В этом случае ромб не имеет общих точек с прямой x=2.

3) Случай, когда точка M пересечения прямых y=1 и x=2 лежит на одной из сторон ромба. Это значит, что координаты точки M x_M=2 и y_M=1 - удовлетворяют уравнению, задающему ромб. Подставив их в уравнение, получим:

3|2-2a|+2|1-a|=6

6|a-1|+2|a-1|=6

|a-1|=\frac{3}{4}

a=\frac{1}{4} или a=\frac{7}{4}

 

 

Ответ: 0; \frac{1}{4}; \frac{7}{4}; 2.

 

Следующие две задачи предложил Богдан Бочкарёв

3. При каких значениях параметра а система имеет хотя бы одно решение?

\left\{\begin{matrix} 2cos \, x+asin \, y=1 \hfill\\ log_{z}\, sin\, y=log_{z}a\cdot log_a\left ( 2-3cos\, x \right )\\ log_{a}z+log_{a}\left ( \frac{1}{2a}-1 \right )=0 \hfill \end{matrix}\right.

Решение. 

Выпишем ОДЗ системы:

\left\{\begin{matrix} sin\, y\, \textgreater\, 0\hfill \\ a \textgreater\, 0 ,\: a\ne1 \hfill \\ 2-3cos\, x\, \textgreater\, 0 \hfill \\ z\, \textgreater\, 0,\: z\ne1 \hfill \\ \frac{1}{2a}-1\, \textgreater\, 0 \end{matrix}\right. ;\: \left\{\begin{matrix} sin\, x\, \textgreater\, 0\hfill \\ 0\, \textless\, a\, \textless\, \frac{1}{2} \hfill \\2-3cos\, x\, \textgreater\, 0 \hfill \\ z\, \textgreater\, 0,\: z\ne1 \hfill \end{matrix}\right.

При выполнении этих условий преобразуем уравнение исходной системы:

\left\{\begin{matrix} 2cos\, x+a\, sin\, y=1\hfill \\ \frac{log_z sin\, y}{log_z a}=log_a (2-3cos\, x) \hfill \\ log_a(z\cdot (\frac{1}{2a}-1))=0 \hfill \end{matrix}\right.

Во втором уравнении применим формулу перехода к другому основанию:

\frac{log_c b}{log_c a}=log_a b;

log_a sin\, y=log_a(2-3cos\, x);

sin\, y=2-3cos\, y.

В уравнении 3 представим 0 как log_a 1.

Получим: z(\frac{1}{2a}-1)=1

С учётом ОДЗ система примет вид:

\left\{\begin{matrix} sin\, y\, \textgreater \, 0\hfill \\ 0\, \textless\,a\,\textless\,\frac{1}{2} \hfill \\2-3cos\,x\,\textgreater\,0 \hfill \\sin\,y=2-3cos\,x \hfill \\2cos\,x+asin\,y=1 \: \: \: \:\: (*) \hfill \\z\,\textgreater\,0, \,z\ne1 \hfill \\z(\frac{1}{2a}-1)=1. \hfill \end{matrix}\right.

Подставим sin\, y=2-3cos\,x в уравнение (*). Получим:

2cos\,x+2a-3 a \, cos\,x=1

Отсюда cos\,x=\frac{2a-1}{3a-2}=\frac{1-2a}{2-3a}

Из условия 2-3cos\, x\, \textgreater\,0 имеем: cos\,x \textless \, \frac{2}{3}.

Так как cos\, x \in [-1;1], имеем:

-1 \leq \frac{2a-1}{3a-2} \,\textless \, \frac{2}{3}

\left\{\begin{matrix} \frac{2a-1}{3a-2}\geq-1\hfill \\\frac{2a-1}{3a-2} \textless \frac{2}{3} \end{matrix}\right.

При 0\, \textless \, a\, \textless\, \frac{1}{2} оба неравенства выполняются.

Рассмотрим также условие

0\, \textless \,sin\,y \leq 1.

Из уравнения sin\,y=2-3cos\,x имеем:

sin\,y =2-3 \cdot \frac{2a-1}{3a-2}=\frac{6a-4-6a+3}{3a-2}=-\frac{1}{3a-2}=\frac{1}{2-3a}

Условие 2-3a\,\textgreater\, выполнено при 0\,\textless a\, \textless \, \frac{1}{2}.

Проверим: \frac{1}{2-3a} \leq 1

1 \leq 2-3a; \, \, \, 3a \leq 1; \, \, \,a \leq \frac{1}{3}

Значит, 0\, \textless \, a\leq \frac{1}{3}.

Осталось условие z\ne1.

Из уравнения z(\frac{1}{2a}-1)=1

Получим: z \cdot \frac{1-2a}{2a}=1,

z= \frac{2a}{1-2a} \ne 1; \, \, \, a \ne \frac{1}{4}.

Ответ: a \in (0; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; \frac{1}{3}]

 

4. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение (x_0, y_0, z_0)?

\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\frac{4}{x}}=\left ( a^2-4 \right )^2+y^2+8 \hfill \\ |y|\cdot z^4+2z^2-a^2z+a+4=0 \end{matrix}\right.

Решение.

1) Уравнения системы четны относительно y, и если тройка чисел (x_0, y_0, z_0) — решение, то и тройка (x_0 -y_0, z_0) — тоже решение.

Решение может быть единственным, только если y=0.

2) В первом уравнении системы (a^2-4)^2+y^2+8\geq8.

Значит, 2^x+2^{\frac{4}{x}}\geq8. Покажем, что x\, \textgreater\, 0.

Если x\, \textless \, 0, то 2^x\, \textless \, 1 и 2^{\frac{4}{x}}\, \textless \, 1;

тогда 2^x+2^{\frac{4}{x}}\, \textless \, 2\, \textless \,8.

Значит, x\, \textgreater \,0. Заметим, что при x\, \textgreater \,0 функция f(x)=2^x+2^{\frac{4}{x}} принимает одинаковые значения при x=x_0 и x=\frac{4}{x_0}. Значит, при c \, \textgreater \, 8 уравнение 2^x+2^{\frac{4}{x}}=c имеет два решения (оба положительны)

Уравнение 2^x+2^{\frac{4}{x}}=c имеет единственное положительное решение, если c=8, \, \, \, x=\frac{4}{x}. Тогда x=2,

2^2+2^{\frac{4}{2}}=4+4=8.

Если x=2, \, \, \, y=0, то (a^2-4)^2=0,

a^2=4, тогда a=2 или a=-2

Если y=0, третье уравнение примет вид:

2z^2-a^2z+a+4=0

Это квадратное уравнение относительно z; оно имеет единственное решение, если D=0.

D=a^4-8(a+4)=0.

Подставив a=2, получим:

16-8 \cdot 6 \, \textless \, 0, \,\,\, a=2 не подходит.

Подставив a=-2, получим

16-8\cdot 2 =0. Тогда z=\frac{4}{4}=1.

Покажем, что при a=-2 нет других решений, кроме тройки чисел (2;0;1).

Подставим a=-2 в исходную систему:

\left\{\begin{matrix} 2^x +2^{\frac{4}{x}}=y^2+8 \hfill \\|y|\cdot z^4+2z^2-4z+2=0 \hfill \end{matrix}\right.

второе уравнение:

|y|\cdot z^4 +2 (z-1)^2=0

Оба слагаемые неотрицательны, значит, |y|\cdot z^4=0 и (z-1)^2=0

Тогда z=1, \, y=0, из первого уравнения x=2, решение единственно.

 

5. Предложила Гузель Юмашева

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна 4 \sqrt{2}. Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины А и С на ребро SB опущены перпендикуляры АР и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

Решение.

а) Покажем, что Р – середина BQ.
Поскольку ABCD – прямоугольник, его диагонали равны, AC=BD. Точка О – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, AO=OC=OB=OD, тогда
SA=SB=SC=SD. Наша пирамида не является правильной, но все ее боковые ребра равны.
Значит, треугольники АSB и BSC – равнобедренные.
Пусть b – боковое ребро пирамиды.

Заметим, что \triangle APB \sim \triangle SHB, где SH - апофема боковой грани.

cos \varphi = cos \angle SBA;

\frac{PB}{AB} = \frac{AB}{2\cdot b};

Тогда PB=\frac{AB^2}{2\cdot b}=\frac{16}{2b}

Аналогично, рассмотрев треугольник SBC,получим, что

BQ = \frac{BC^2}{2\cdot b} = \frac{32}{2b},

Тогда BQ=2PB, точка Р - середина BQ.

б) Найдем угол между SBA и SBС,если SD=b=8.
AР и СQ – перпендикуляры к SB, проведенные в плоскостях SAB и SBC, точка P – середина BQ.

Пусть F – середина ВС, тогда PF – средняя линия \triangle BQC,

PF \parallel QC,PF \perp SB.

Угол APF найдем из треугольника APF.

Из \triangle ABF: \, \, AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{16+8}=2\sqrt{6}.

Если SD=b=8, \, PB=1, то AP= \sqrt{AP^2-PB^2}=\sqrt{15},

BQ=2.Тогда QC=\sqrt{BC^2-BQ^2}=\sqrt{32-4}=2\sqrt{7}.PF=1/2 QC=\sqrt7.

В треугольнике APF по теореме косинусов

AF^2=AP^2+PF^2-2AP\cdot PF\cdot cos\angle APF;

24=15+7-2\cdot\sqrt{15}\cdot\sqrt{7}\cdot cos\angle APF;

cos\angle APF=\frac{-1}{\sqrt{105}}

Поскольку угол между плоскостями – это меньший из углов, ими образуемых, угол \varphi между плоскостями АSB и BSC – это угол, смежный с углом APF;

cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{105}},

\varphi =arccos\frac{1}{\sqrt{105}}.

 

6. Предложил Алексей Ряшенцев – задача из варианта 236 сайта Ларина

Решите неравенство: log_{x^2}\left ( 3-x \right )\leq log_{x+2}\left ( 3-x \right ).

Решение.

ОДЗ: \left\{\begin{matrix} 3-x\, \textgreater \,0 \hfill \\ x^2\ne0 \hfill \\x^2\ne1 \hfill \\x+2\, \textgreater \,0 \hfill \\ x+2\ne1 \end{matrix}\right. ;\: \: \left\{\begin{matrix} -2\, \textless \, x\, \textless \,3 \hfill \\ x\ne0,\: x\ne1, \hfill \\ x\ne-1 \hfill \end{matrix}\right.

1) Рассмотрим случай 3-x=1, тогда x=2.

Получим: log_4 1 = log_4 1, тождество.

2) Пусть 3-x \ne1. Применим формулу log_a b = \frac{1}{log_b a}

\frac{1}{log_{3-x}x^2} - \frac{1}{log_{3-x}(x+2)} \leq 0

\frac{log_{3-x}(x+2)-log_{3-x}x^2}{log_{3-x}x^2 \cdot log_{3-x}(x+2)} \leq 0

Применяя метод рационализации и учитывая ОДЗ и условие 3-x \ne 1, получим:

\left\{\begin{matrix} -2 \, \textless \, x \, \textless \, 3 \hfill \\x\ne1,\: x\ne2 \hfill \\ x\ne0,\: x\ne-1 \hfill \\ \frac{(2-x)(x+2-x^2)}{(2-x)(2-x)(x^2-1)(x+1)}\leq0 \hfill \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} -2 \, \textless \, x \, \textless \, 3 \hfill \\ x\ne1, \, \, x\ne2, \, \, x\ne0, \, \,x\ne-1 \hfill \\ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)}\leq0 \hfill\end{matrix}\right.

Решая систему и объединяя с ответом в случае (1), получим:

x\in (-1;0)\cup (0;1)\cup \left \{ 2 \right \}.

 

7. Предложила Татьяна Потапова

а) Решите уравнение \sqrt{2}\, cos\left ( 8x \right )cos\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=2cos\frac{\pi}{4}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3\pi; 5\pi]

Решение.

а) Так как cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, получим:

\sqrt{2} cos \, 8x \cdot cos (x+ \frac{\pi}{4})=\sqrt{2},

cos \,8x \cdot cos (\frac{\pi}{4})=1.

Каждый из множителей в левой части уравнения по модулю не больше 1:

|cos \, 8x| \leq 1,

|cos (x+ \frac{\pi}{4})| \leq 1.

их произведение равно 1, только если

\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}cos\, 8x=1 \hfill \\cos (x+ \frac{\pi}{4})=1 \end{matrix}\right. \hfill \\ \left\{\begin{matrix}cos\, 8x=-1 \hfill \\ cos (x+ \frac{\pi}{4})=-1 \hfill \end{matrix}\right. \end{array} \right.

\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}8x=2\pi n, \, n\in Z \hfill \\x+ \frac{\pi}{4} =2\pi k, \, k\in Z \end{matrix}\right. \hfill \\\left\{\begin{matrix}8x= \pi+2\pi n \hfill \\ x=\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi k \end{matrix}\right. \hfill \end{array} \right.

\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{4},\, n\in Z \hfill \\x= - \frac{\pi}{4}+2\pi k, \, k \in Z \end{matrix}\right. (1) \hfill \\\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \hfill \\ x=\ - \frac{\pi}{4}+\pi +2 \pi k \end{matrix}\right. \hfill (2) \end{array} \right.

Система (1):

\frac{\pi n}{4}= - \frac{\pi}{4}+2\pi k \, \, n, k \in Z

n = -1+8k, тогда x= - \frac{\pi}{4}+2\pi k ,\, k \in Z.

Система (2):

\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi k ,\,\, n,k \in Z.

\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{n}{4} = 1+2k,

\frac{1}{2} + n =3 +8k, \, \, \, n,k \in Z.

Уравнение не имеет целых решений, так как левая часть — не целое число, правая — целое.

Получим ответ в пункте (a):

x= - \frac{\pi}{4}+2 \pi k ,\, k \in Z.

б) Отберём корни на отрезке [-3\pi; 5\pi) с помощью двойного неравенства.

-3 \pi \leq \ -\frac{\pi}{4}+2 \pi k \leq 5\pi

-12 \leq -1+8k \leq 20

-11 \leq 8k \leq 21

- \frac{11}{8} \leq k \leq \frac{21}{8};

k= -1; 0; 1; 2

x= - \frac{9\pi}{4}; - \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{15 \pi}{4}