Стрим ?Нерешаемые задачи ЕГЭ по математике.? Решения

1. При каких значениях параметра $a$ система имеет единственное решение $(x_0,y_0,z_0)$ ?

$\begin{cases}2^x+2^{\frac{4}{x}}=(a^2-4)^2+y^2+8 \\|y|\cdot z^4+2z^2-a^2z+a+4=0\end{cases}$

Решение:

В этой системе три переменных и всего 2 уравнения.

1) Уравнения системы четны относительно y, и если тройка чисел $(x_0,y_0,z_0)$ — решение, то и тройка $(x_0,-y_0,z_0)$ — тоже решение. Вместе с каждым решением $(x_0,y_0,z_0)$ возникает также решение $(x_0,-y_0,z_0)$ . Единственное решение может быть, только если $y=0$ . Это одно из необходимых условий.
Мы воспользовались четностью уравнений системы относительно у.
2) В первом уравнении системы $(a^2-4)^2+y^2+8 \geqslant 8 -$ левая часть.
Значит, и правая его часть не меньше 8, $2^x+2^{\frac{4}{x}} \geqslant 8.$

Покажем, что условие $2^x+2^{\frac{4}{x}} \geqslant 8$ выполняется только при $x>0.$

ОДЗ этого неравенства: $x\neq 0.$

Если $x>0,$ то $2^x<1$ и $2^{\frac{4}{x}}<1;$ тогда $2^x+2^{\frac{4}{x}} < 2 < 8.$ Значит, $x>0.$

Заметим, что при $x>0$ функция $f(x)=2^x+2^{\frac{4}{x}}$ принимает одинаковые значения при $x=x_0$ и $x=\frac{4}{x_0}.$ Тогда уравнение $2^x+2^{\frac{4}{x}} =c$ имеет два решения, причем оба положительны.

Уравнение $2^x+2^{\frac{4}{x}} =c$ может иметь единственное положительное решение, если $x=\frac{4}{x}$ (воспользовались методом симметрии).

Это значит, что $x^2=4$ . Положительное решение этого уравнения: $x=2.$

Если $x=2,$ то $2^x+2^{\frac{4}{x}} =8,$ и система может иметь единственное решение. Мы нашли второе необходимое условие.

Получается, что исходная система может иметь единственное решение, если это решение вида $(2; 0; z).$

Подставим $x = 2$ и $y = 0$ в первое уравнение: $2^x+2^{\frac{4}{x}}=(a^2-4)^2+y^2+8.$

$8=(a^2-4)^2+8; (a^2-4)^2=0,$

$a^2=4,$ тогда $a=2$ или $a=-2.$

Теперь второе уравнение исходной системы.

Если $y=0,$ оно выглядит так:

$2z^2-a^2z+a+4=0$

Это квадратное уравнение относительно z; оно имеет единственное решение, если $D=0.$

$D=a^4-8(a+4)=0.$

Подставив $a=2,$ получим: $16-8\cdot6<0, a=2$ не подходит.

Подставив $a=-2,$ получим $16-8\cdot2=0.$ Тогда $z=\frac{4}{4}=1.$

Покажем, что при $a=-2$ нет других решений, кроме тройки чисел (2;0;1).

Подставим $a=-2$ в исходную систему.

$\begin{cases}2^x+2^{\frac{4}{x}}=y^2+8 \\|y|\cdot z^4+2z^2-4z+2=0\end{cases}$

Второе уравнение: $|y|\cdot z^4+2(z-1)^2=0.$

Оба слагаемые неотрицательны, значит, $|y|\cdot z^4=0$ и $(z-1)^2=0.$

Тогда $z=1,y=0,$ из первого уравнения $x=2,$ система имеет единственное решение.

Ответ: а = - 2

2. Найдите все значения a, при каждом из которых система

$\left\{\begin{matrix} 3\left | x-2a \right |+2\left | y-a \right |=6\\xy-x-2y+2=0 \hfill \end{matrix}\right.$

имеет ровно три различных решения.

Решение.

$\left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6 \hfill \\xy-x-2y+2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6\hfill \\(x-2)(y-1)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3|x-2a|+2|y-a|=6 \hfill \\ \left[ \begin{array}{ccc} x=2 \hfill \\ y=1 \hfill \\ \end{array} \right. \end{matrix}\right.$

Мы разложили второе уравнение на множители: $xy-x-2y+2=x(y-1)-2(y-1)=(x-2)(y-1)$

Первое уравнение системы задаёт ромб с диагоналями, параллельными осям координат; горизонтальная диагональ равна 4, вертикальная диагональ равна 6.

Центр ромба находится в точке $p(2a;a)$ , то есть лежит на прямой $y=\frac{x}{2}$ .

Мы нашли координаты центра ромба, сказав,что $x_p =2a, y_p =a,$ отсюда $y_p = \frac{x_p}{2}$

Система имеет ровно 3 различных решения, если ромб, заданный первым уравнением, имеет ровно 3 общие точки с совокупностью прямых $\left[\begin{array}{ccc}x=2 \hfill \\y=1 \hfill \\\end{array}\right.$

Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая $x=2$ проходит через одну из вершин ромба. Это происходит, если $a=0$ или $a=2.$

В этом случае расстояние от центра ромба до прямой $x=2$ равно 2.

2) Случай, когда расстояние от центра ромба до прямой $y=1$ равно 3, не подходит. В этом случае ромб не имеет общих точек с прямой $x=2.$

3) Случай, когда точка M пересечения прямых $y=1$ и $x=2$ лежит на одной из сторон ромба. Это значит, что координаты точки M $x_M=2$ и $y_M=1$ - удовлетворяют уравнению, задающему ромб. Подставив их в уравнение, получим:

$3|2-2a|+2|1-a|=6$

$6|a-1|+2|a-1|=6$

$|a-1|=\frac{3}{4}$

$a=\frac{1}{4}$ или $a=\frac{7}{4}$

Ответ: $0; \frac{1}{4}; \frac{7}{4}; 2.$

3. При каких значениях параметра а система имеет хотя бы одно решение?

$\left\{\begin{matrix} 2cos \, x+asin \, y=1 \hfill\\ log_{z}\, sin\, y=log_{z}a\cdot log_a\left ( 2-3cos\, x \right )\\ log_{a}z+log_{a}\left ( \frac{1}{2a}-1 \right )=0 \hfill \end{matrix}\right.$

Решение.

Выпишем ОДЗ системы:

$\left\{\begin{matrix} sin\, y\, \textgreater\, 0\hfill \\ a \textgreater\, 0 ,\: a\ne1 \hfill \\ 2-3cos\, x\, \textgreater\, 0 \hfill \\ z\, \textgreater\, 0,\: z\ne1 \hfill \\ \frac{1}{2a}-1\, \textgreater\, 0 \end{matrix}\right. ;\: \left\{\begin{matrix} sin\, x\, \textgreater\, 0\hfill \\ 0\, \textless\, a\, \textless\, \frac{1}{2} \hfill \\2-3cos\, x\, \textgreater\, 0 \hfill \\ z\, \textgreater\, 0,\: z\ne1 \hfill \end{matrix}\right.$

При выполнении этих условий преобразуем уравнение исходной системы:

$\left\{\begin{matrix} 2cos\, x+a\, sin\, y=1\hfill \\ \frac{log_z sin\, y}{log_z a}=log_a (2-3cos\, x) \hfill \\ log_a(z\cdot (\frac{1}{2a}-1))=0 \hfill \end{matrix}\right.$

Во втором уравнении применим формулу перехода к другому основанию:

$\frac{log_c b}{log_c a}=log_a b;$

$log_a sin\, y=log_a(2-3cos\, x);$

$sin\, y=2-3cos\, y.$

В уравнении 3 представим 0 как $log_a 1.$

Получим: $z(\frac{1}{2a}-1)=1$

С учётом ОДЗ система примет вид:

$\left\{\begin{matrix} sin\, y\, \textgreater \, 0\hfill \\ 0\, \textless\,a\,\textless\,\frac{1}{2} \hfill \\2-3cos\,x\,\textgreater\,0 \hfill \\sin\,y=2-3cos\,x \hfill \\2cos\,x+asin\,y=1 \: \: \: \:\: (*) \hfill \\z\,\textgreater\,0, \,z\ne1 \hfill \\z(\frac{1}{2a}-1)=1. \hfill \end{matrix}\right.$

Подставим $sin\, y=2-3cos\,x$ в уравнение (*). Получим:

$2cos\,x+2a-3 a \, cos\,x=1$

Отсюда $cos\,x=\frac{2a-1}{3a-2}=\frac{1-2a}{2-3a}$

Из условия $2-3cos\, x\, \textgreater\,0$ имеем: $cos\,x \textless \, \frac{2}{3}$ .

Так как $cos\, x \in [-1;1]$ , имеем:

$-1 \leq \frac{2a-1}{3a-2} \,\textless \, \frac{2}{3}$

$\left\{\begin{matrix} \frac{2a-1}{3a-2}\geq-1\hfill \\\frac{2a-1}{3a-2} \textless \frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

При $0\, \textless \, a\, \textless\, \frac{1}{2}$ оба неравенства выполняются.

Рассмотрим также условие

$0\, \textless \,sin\,y \leq 1.$

Из уравнения $sin\,y=2-3cos\,x$ имеем:

$sin\,y =2-3 \cdot \frac{2a-1}{3a-2}=\frac{6a-4-6a+3}{3a-2}=-\frac{1}{3a-2}=\frac{1}{2-3a}$

Условие $2-3a\,\textgreater\,$ выполнено при $0\,\textless a\, \textless \, \frac{1}{2}.$

Проверим: $\frac{1}{2-3a} \leq 1$

$1 \leq 2-3a; \, \, \, 3a \leq 1; \, \, \,a \leq \frac{1}{3}$

Значит, $0\, \textless \, a\leq \frac{1}{3}.$

Осталось условие $z\ne1.$

Из уравнения $z(\frac{1}{2a}-1)=1$

Получим: $z \cdot \frac{1-2a}{2a}=1,$

$z= \frac{2a}{1-2a} \ne 1; \, \, \, a \ne \frac{1}{4}.$

Ответ: $a \in (0; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; \frac{1}{3}]$

4. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна $4 \sqrt{2}$ . Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины А и С на ребро SB опущены перпендикуляры АР и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

Решение.

а) Покажем, что Р – середина BQ.
Поскольку ABCD – прямоугольник, его диагонали равны, AC=BD. Точка О – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, AO=OC=OB=OD, тогда
SA=SB=SC=SD. Наша пирамида не является правильной, но все ее боковые ребра равны.
Значит, треугольники АSB и BSC – равнобедренные.
Пусть b – боковое ребро пирамиды.

Заметим, что $\triangle APB \sim \triangle SHB$ , где SH - апофема боковой грани.

$cos \varphi = cos \angle SBA$ ;

$\frac{PB}{AB} = \frac{AB}{2\cdot b}$ ;

Тогда $PB=\frac{AB^2}{2\cdot b}=\frac{16}{2b}$

Аналогично, рассмотрев треугольник SBC,получим, что

$BQ = \frac{BC^2}{2\cdot b} = \frac{32}{2b},$

Тогда $BQ=2PB$ , точка Р - середина BQ.

б) Найдем угол между SBA и SBС,если SD=b=8.
AР и СQ – перпендикуляры к SB, проведенные в плоскостях SAB и SBC, точка P – середина BQ.

Пусть F – середина ВС, тогда PF – средняя линия $\triangle BQC,$

$PF \parallel QC,PF \perp SB.$

Угол APF найдем из треугольника APF.

Из $\triangle ABF: \, \, AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{16+8}=2\sqrt{6}.$

Если $SD=b=8, \, PB=1,$ то $AP= \sqrt{AP^2-PB^2}=\sqrt{15},$

$BQ=2.$ Тогда $QC=\sqrt{BC^2-BQ^2}=\sqrt{32-4}=2\sqrt{7}.PF=1/2 QC=\sqrt7.$

В треугольнике APF по теореме косинусов

$AF^2=AP^2+PF^2-2AP\cdot PF\cdot cos\angle APF;$

$24=15+7-2\cdot\sqrt{15}\cdot\sqrt{7}\cdot cos\angle APF;$

$cos\angle APF=\frac{-1}{\sqrt{105}}$

Поскольку угол между плоскостями – это меньший из углов, ими образуемых, угол $\varphi$ между плоскостями АSB и BSC – это угол, смежный с углом APF;

$cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{105}},$

$\varphi =arccos\frac{1}{\sqrt{105}}.$

5. Решите неравенство: $log_{x^2}\left ( 3-x \right )\leq log_{x+2}\left ( 3-x \right ).$

Решение.

ОДЗ: $\left\{\begin{matrix} 3-x\, \textgreater \,0 \hfill \\ x^2\ne0 \hfill \\x^2\ne1 \hfill \\x+2\, \textgreater \,0 \hfill \\ x+2\ne1 \end{matrix}\right. ;\: \: \left\{\begin{matrix} -2\, \textless \, x\, \textless \,3 \hfill \\ x\ne0,\: x\ne1, \hfill \\ x\ne-1 \hfill \end{matrix}\right.$

1) Рассмотрим случай $3-x=1$ , тогда $x=2$ .

Получим: $log_4 1 = log_4 1$ , тождество.

2) Пусть $3-x \ne1$ . Применим формулу $log_a b = \frac{1}{log_b a}$

$\frac{1}{log_{3-x}x^2} - \frac{1}{log_{3-x}(x+2)} \leq 0$

$\frac{log_{3-x}(x+2)-log_{3-x}x^2}{log_{3-x}x^2 \cdot log_{3-x}(x+2)} \leq 0$

Применяя метод рационализации и учитывая ОДЗ и условие $3-x \ne 1$ , получим:

$\left\{\begin{matrix} -2 \, \textless \, x \, \textless \, 3 \hfill \\x\ne1,\: x\ne2 \hfill \\ x\ne0,\: x\ne-1 \hfill \\ \frac{(2-x)(x+2-x^2)}{(2-x)(2-x)(x^2-1)(x+1)}\leq0 \hfill \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} -2 \, \textless \, x \, \textless \, 3 \hfill \\ x\ne1, \, \, x\ne2, \, \, x\ne0, \, \,x\ne-1 \hfill \\ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)}\leq0 \hfill\end{matrix}\right.$

Решая систему и объединяя с ответом в случае (1), получим:

$x\in (-1;0)\cup (0;1)\cup \left \{ 2 \right \}.$

6. а) Решите уравнение $\sqrt{2}\, cos\left ( 8x \right )cos\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=2cos\frac{\pi}{4}.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi; 5\pi]$

Решение.

а) Так как $cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$ получим:

$\sqrt{2} cos \, 8x \cdot cos (x+ \frac{\pi}{4})=\sqrt{2},$

$cos \,8x \cdot cos (\frac{\pi}{4})=1.$

Каждый из множителей в левой части уравнения по модулю не больше 1:

$|cos \, 8x| \leq 1,$

$|cos (x+ \frac{\pi}{4})| \leq 1.$

их произведение равно 1, только если

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}cos\, 8x=1 \hfill \\cos (x+ \frac{\pi}{4})=1 \end{matrix}\right. \hfill \\ \left\{\begin{matrix}cos\, 8x=-1 \hfill \\ cos (x+ \frac{\pi}{4})=-1 \hfill \end{matrix}\right. \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}8x=2\pi n, \, n\in Z \hfill \\x+ \frac{\pi}{4} =2\pi k, \, k\in Z \end{matrix}\right. \hfill \\\left\{\begin{matrix}8x= \pi+2\pi n \hfill \\ x=\frac{\pi}{4}=\pi+2\pi k \end{matrix}\right. \hfill \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{4},\, n\in Z \hfill \\x= - \frac{\pi}{4}+2\pi k, \, k \in Z \end{matrix}\right. (1) \hfill \\\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \hfill \\ x=\ - \frac{\pi}{4}+\pi +2 \pi k \end{matrix}\right. \hfill (2) \end{array} \right.$

Система (1):

$\frac{\pi n}{4}= - \frac{\pi}{4}+2\pi k \, \, n, k \in Z$

$n = -1+8k,$ тогда $x= - \frac{\pi}{4}+2\pi k ,\, k \in Z.$

Система (2):

$\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi k ,\,\, n,k \in Z.$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{n}{4} = 1+2k,$

$\frac{1}{2} + n =3 +8k, \, \, \, n,k \in Z.$

Уравнение не имеет целых решений, так как левая часть — не целое число, правая — целое.

Получим ответ в пункте (a):

$x= - \frac{\pi}{4}+2 \pi k ,\, k \in Z.$

б) Отберём корни на отрезке $[-3\pi; 5\pi)$ с помощью двойного неравенства.

$-3 \pi \leq \ -\frac{\pi}{4}+2 \pi k \leq 5\pi$

$-12 \leq -1+8k \leq 20$

$-11 \leq 8k \leq 21$

$- \frac{11}{8} \leq k \leq \frac{21}{8};$

$k= -1; 0; 1; 2$

$x= - \frac{9\pi}{4}; - \frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{15 \pi}{4}$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Стрим u0026#171;Нерешаемые задачи ЕГЭ по математике.u0026#187; Решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 12.03.2023

Стрим «Нерешаемые задачи ЕГЭ по математике.» Решения

Это полезно