1. При каких значениях параметра система имеет единственное решение
?
Решение:
В этой системе три переменных и всего 2 уравнения.
- 1) Уравнения системы четны относительно y, и если тройка чисел
— решение, то и тройка
— тоже решение. Вместе с каждым решением
возникает также решение
. Единственное решение может быть, только если
. Это одно из необходимых условий.
Мы воспользовались четностью уравнений системы относительно у.
- 2) В первом уравнении системы
левая часть.
Значит, и правая его часть не меньше 8,
Покажем, что условие
выполняется только при
ОДЗ этого неравенства:
Если
то
и
тогда
Значит,
Заметим, что при
функция
принимает одинаковые значения при
и
Тогда уравнение
имеет два решения, причем оба положительны.
Уравнение
может иметь единственное положительное решение, если
(воспользовались методом симметрии).
Это значит, что
. Положительное решение этого уравнения:
Если
то
и система может иметь единственное решение. Мы нашли второе необходимое условие.
Получается, что исходная система может иметь единственное решение, если это решение вида
Подставим и
в первое уравнение:
тогда
или
Теперь второе уравнение исходной системы.
Если оно выглядит так:
Это квадратное уравнение относительно z; оно имеет единственное решение, если
Подставив получим:
не подходит.
Подставив получим
Тогда
Покажем, что при нет других решений, кроме тройки чисел (2;0;1).
Подставим в исходную систему.
Второе уравнение:
Оба слагаемые неотрицательны, значит, и
Тогда из первого уравнения
система имеет единственное решение.
Ответ: а = - 2
2. Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет ровно три различных решения.
Решение.
Мы разложили второе уравнение на множители:
Первое уравнение системы задаёт ромб с диагоналями, параллельными осям координат; горизонтальная диагональ равна 4, вертикальная диагональ равна 6.
Центр ромба находится в точке , то есть лежит на прямой
.
Мы нашли координаты центра ромба, сказав,что отсюда
Система имеет ровно 3 различных решения, если ромб, заданный первым уравнением, имеет ровно 3 общие точки с совокупностью прямых
Это происходит в следующих случаях:
1) Прямая проходит через одну из вершин ромба. Это происходит, если
или
В этом случае расстояние от центра ромба до прямой равно 2.
2) Случай, когда расстояние от центра ромба до прямой равно 3, не подходит. В этом случае ромб не имеет общих точек с прямой
3) Случай, когда точка M пересечения прямых и
лежит на одной из сторон ромба. Это значит, что координаты точки M
и
- удовлетворяют уравнению, задающему ромб. Подставив их в уравнение, получим:
или
Ответ:
3. При каких значениях параметра а система имеет хотя бы одно решение?
Решение.
Выпишем ОДЗ системы:
При выполнении этих условий преобразуем уравнение исходной системы:
Во втором уравнении применим формулу перехода к другому основанию:
В уравнении 3 представим 0 как
Получим:
С учётом ОДЗ система примет вид:
Подставим в уравнение (*). Получим:
Отсюда
Из условия имеем:
.
Так как , имеем:
При оба неравенства выполняются.
Рассмотрим также условие
Из уравнения имеем:
Условие выполнено при
Проверим:
Значит,
Осталось условие
Из уравнения
Получим:
Ответ:
4. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 4, а BC равна . Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины А и С на ребро SB опущены перпендикуляры АР и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 8.
Решение.
а) Покажем, что Р – середина BQ.
Поскольку ABCD – прямоугольник, его диагонали равны, AC=BD. Точка О – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, AO=OC=OB=OD, тогда
SA=SB=SC=SD. Наша пирамида не является правильной, но все ее боковые ребра равны.
Значит, треугольники АSB и BSC – равнобедренные.
Пусть b – боковое ребро пирамиды.
Заметим, что , где SH - апофема боковой грани.
;
;
Тогда
Аналогично, рассмотрев треугольник SBC,получим, что
Тогда , точка Р - середина BQ.
б) Найдем угол между SBA и SBС,если SD=b=8.
AР и СQ – перпендикуляры к SB, проведенные в плоскостях SAB и SBC, точка P – середина BQ.
Пусть F – середина ВС, тогда PF – средняя линия
Угол APF найдем из треугольника APF.
Из
Если то
Тогда
В треугольнике APF по теореме косинусов
Поскольку угол между плоскостями – это меньший из углов, ими образуемых, угол между плоскостями АSB и BSC – это угол, смежный с углом APF;
5. Решите неравенство:
Решение.
ОДЗ:
1) Рассмотрим случай , тогда
.
Получим: , тождество.
2) Пусть . Применим формулу
Применяя метод рационализации и учитывая ОДЗ и условие , получим:
Решая систему и объединяя с ответом в случае (1), получим:
6. а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Так как получим:
Каждый из множителей в левой части уравнения по модулю не больше 1:
их произведение равно 1, только если
Система (1):
тогда
Система (2):
Уравнение не имеет целых решений, так как левая часть — не целое число, правая — целое.
Получим ответ в пункте (a):
б) Отберём корни на отрезке с помощью двойного неравенства.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Стрим u0026#171;Нерешаемые задачи ЕГЭ по математике.u0026#187; Решения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 12.03.2023