previous arrow
next arrow
Slider

Свойства высот треугольника. Ортоцентр

Анна Малкова

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
k=cosB, если , и , если 

  1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
  2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
  3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
  4. BH=2R\left | cosB \right |,где R – радиус описанной окружности \triangle ABC.

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

\triangle ABM \sim \triangle CBK\Rightarrow \frac{BM}{BK}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{BM}{AB}=\frac{BK}{BC}.

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что \triangle MBK \sim \triangle ABC по углу и двум сторонам.

2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны 180 ^{\circ}.

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
\angle ACB= \angle BKM=\gamma – как смежный с углом ВКМ. Получили, что \angle AKM = 180 ^{\circ} - \angle BKM=180 ^{\circ} - \gamma , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН - прямые, их сумма равна 180 ^{\circ}, и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,
R_{\triangle ABC}=\frac{AC}{2sin \angle ABC}.
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС, R_{\triangle AHC}=\frac{AC}{2sin \angle AHC}.
Мы помним, что sin\left ( 180 ^{\circ}-\alpha \right )=sin\alpha. Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

5) Докажем, что BH=2R\left | cosB \right |,где R – радиус описанной окружности \triangle ABC. Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, BH=\frac{MK}{sin \angle ABC}..

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен \frac{AC}{sin \angle ABC}. Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно \left | cosB \right |. Получили, что BH=2R\left | cosB \right |.

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что KN=8\sqrt{2} и \angle KMN=45{^\circ }

а) Докажем, что \angle ABK=\angle ANK.
\triangle MBK \sim \triangle MAN(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон: \frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MK}.
Но это значит, что \triangle ABM\sim \triangle NKM (по углу и двум сторонам), причем k=\frac{MA}{MN}=cos\angle KMN.

\angle MAB=\angle MNK,\angle BAK- - смежный с углом \angle MAB,
\angle BAK = 180 ^{\circ} - \angle MAB = 180 ^{\circ} - \angle BNK,
\angle BAK+\angle BNK = 180 ^{\circ},,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
\angle ABK=\angle ANK (опираются на одну дугу).

б) Найдем R_{\triangle ABM}, если KN=8\sqrt{2} и \angle KMN=45 ^{\circ}
\triangle ABM \sim \triangle NKM, k=cos \angle KMN=\frac{\sqrt{2}}{2};
\frac{AB}{KN}=k,\: \: \: AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot KN=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\sqrt{2}=8.
По теореме синусов,

R_{\triangle ABM}=\frac{AB}{2sin \angle AMB}=\frac{8\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=4\sqrt{2}.