previous arrow
next arrow
Slider

Свойство высот треугольника

Анна Малкова

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае тупоугольного треугольника пересекаются продолжения высот.

Пусть треугольник АВС – остроугольный.

Проведем в треугольнике АВС высоты ВН и СР. Проведем также прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через вершины, противоположные этим сторонам.

m \parallel BC

n \parallel AB

l \parallel AC

Заметим, что четырехугольник АВСF – параллелограмм, поскольку его противоположные стороны параллельны. Это значит, что CF = AB.

Точно так же, ABKC – параллелограмм и KC = АВ.

Поскольку АВ и FK параллельны, СР является серединным перпендикуляром к FK. Аналогично, ВН – серединный перпендикуляр к EK, а АМ – серединный перпендикуляр к ЕF. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ЕKF пересекаются в точке О. И это значит, что три высоты треугольника АВС пересекаются в точке О.

Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника»

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65 ^{\circ}. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

В треугольниках ACE и OCD угол C – общий, углы E и D равны 90 ^{\circ}. Значит, треугольники ACE и OCD подобны, углы CAE и DOC равны, и \angle DOC = 65 ^{\circ}. Тогда угол DOE – смежный с углом DOC. Он равен 180 ^{\circ} - 65 ^{\circ} = 115 ^{\circ}.