Анна Малкова
Ей не повезло.
В школьных учебниках ее и теоремой-то редко называют. Говорят, что это «лемма». Или «следствие». Или «задача». Как будто это что-то необязательное и незначительное. А на самом деле это важнейшая теорема о прямой и параллельной ей плоскости.
Даже если в школе ее доказывают — не говорят, зачем она нужна. Доказали — и забыли.
Но при этом в стереометрии — и особенно в задачах ЕГЭ по математике — есть множество ситуаций, когда без этой важнейшей теоремы не обойтись.
Встречайте:
Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:
Пусть прямая \(m\) параллельна плоскости \(\alpha \). Если плоскость \( \beta\) проходит через прямую \(m\) и пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(c\), то \(c\) параллельна \(m\).
Для чего нам эта теорема? Например, для того, чтобы построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.
1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки \(M, \; N, \; K\). Точка \(N\) лежит на ребре \(BC, \; M \in AD, \; K \in BD, \; MK \parallel AB. \)
Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой \(NT\), параллельной \(MK.\)
Прямая \(MK\) параллельна \(AB\), лежащей в плоскости основания \(ABC\). Значит, \( MK \parallel (ABC).\)
Плоскость сечения проходит прямую \(MK\), параллельную плоскости \(ABC\). По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости \(ABC\) параллельна прямой \(MK\). Трапеция \(MKNT\) — искомое сечение.
Таких задач, где в сечении пирамиды получается трапеция (или параллелограмм), в вариантах Профильного ЕГЭ очень много.
2. В правильной четырехугольной пирамиде \(PABCD\), все ребра которой равны \(8\), точка \(K\) — середина бокового ребра \(AP\).
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку \(K\) и параллельной прямым \(PB\) и \(BC\).
б) Найдите площадь сечения.
Пусть точка \(M\) — середина \(AB.\) Тогда \(KM \parallel PB\) как средняя линия \(\triangle APB.\)
Пусть точка \(N\) — середина \(PD.\) Поскольку \(KN\) — средняя линия \(\triangle APD, \; KN \parallel AD,\) и тогда \(KN \parallel BC.\)
Построим сечение пирамиды плоскостью \(KMN.\) Пусть плоскости \(KMN\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(ME\). Покажем, что \(ME\parallel { AD}.\)
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,
\(\left.\begin{matrix} KN \parallel \left ( ABC \right )\\ KN \in \left ( KMN \right ) \\ \left ( KMN \right )\cap \left ( ABC \right )=ME \end{matrix}\right\} \Rightarrow ME \parallel KN.\)
Это значит, что \(ME\parallel { AD}.\) Прямая \(ME\) содержит точку \(O\), являющуюся проекцией вершины \(P\) на плоскость \(ABC\). Трапеция \(KNEM\) — искомое сечение.
б) Найдём площадь сечения.
\(S_{KNEM}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left(ME+KN\right)\cdot h,\) где \(h\) — высота трапеции \(KNEM\).
Пусть \(H\) — середина \(KN,\)
\(OH\bot { KN}.\)
\(MK=NE=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 8=4, \)
\(KN=4,\) тогда \(HO=2\sqrt{3}, \)
\(S_{KNEM}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}. \)
Еще одна теорема — такая же полезная, как и теорема о прямой и параллельной ей плоскости. Вот она:
Теорема. Пусть плоскости \( \boldsymbol{ \alpha }\) и \( \boldsymbol{ \beta }\) пересекаются по прямой р. Плоскость \(\boldsymbol{ \gamma }\) параллельна прямой р. Тогда она пересекает плоскости \(\boldsymbol{ \alpha }\) и \(\boldsymbol{ \beta }\) по прямым, параллельным \(p\).
Как ее назвать? Согласитесь, сложно придумать короткое название. Для себя (не для оформления на экзамене!) можно запомнить эту картинку как «домик» или «книжечку». Главное — запомнить формулировку и увидеть, как теорема применяется в решении задач.
