previous arrow
next arrow
Slider

Теорема о прямой и параллельной ей плоскости

Анна Малкова

Ей не повезло.

В школьных учебниках ее и теоремой-то редко называют. Говорят, что это «лемма». Или «следствие». Или «задача». Как будто это что-то необязательное и незначительное. А на самом деле это важнейшая теорема о прямой и параллельной ей плоскости.

Даже если в школе ее доказывают — не говорят, зачем она нужна. Доказали — и забыли.

Но при этом в стереометрии — и особенно в задачах ЕГЭ по математике — есть множество ситуаций, когда без этой важнейшей теоремы не обойтись.

Встречайте:

Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости \alpha . Если плоскость \beta проходит через прямую m и пересекает плоскость \alpha по прямой c, то c параллельна m.

Для чего нам эта теорема? Например, для того, чтобы построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, K. Точка N лежит на ребре BC, M \in AD, K \in BD, MK \parallel AB.

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной MK.

Прямая MK параллельна AB, лежащей в плоскости основания ABC. Значит, MK \parallel (ABC).

Плоскость сечения проходит прямую MK, параллельную плоскости ABC. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости AВC параллельна прямой MK. Трапеция MKNT — искомое сечение.

Таких задач, где в сечении пирамиды получается трапеция (или параллелограмм), в вариантах Профильного ЕГЭ очень много.

2. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K — середина бокового ребра AP.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.

б) Найдите площадь сечения.

Пусть точка M — середина AB. Тогда KM \parallel PB как средняя линия \triangle APB.

Пусть точка N — середина PD. Поскольку KN — средняя линия \triangle APD, KN \parallel AD, и тогда KN \parallel BC.

Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости KMN и ABC пересекаются по прямой МE. Покажем, что ME\parallel { AD}.

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,

\left.\begin{matrix} KN \parallel \left ( ABC \right )\\ KN \in \left ( KMN \right ) \\ \left ( KMN \right )\cap \left ( ABC \right )=ME \end{matrix}\right\} = \textgreater ME \parallel KN,

Это значит, что ME\parallel { AD}. Прямая ME содержит точку О, являющуюся проекцией вершины P на плоскость ABC. Трапеция KNEM - искомое сечение.

б) Найдём площадь сечения.

S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot \left(ME+KN\right)\cdot h, где h — высота трапеции KNEM.

Пусть H — середина KN,

OH\bot { KN.}

MK=NE=\frac{1}{2}\cdot 8=4,

KN=4, тогда HO=2\sqrt{3},

S_{KNEM}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}

Есть еще одна теорема — такая же полезная, как и теорема о прямой и параллельной ей плоскости. Вот она:

Теорема. Пусть плоскости \boldsymbol{ \alpha } и \boldsymbol{ \beta } пересекаются по прямой р. Плоскость \boldsymbol{ \gamma } параллельна прямой р. Тогда она пересекает плоскости \boldsymbol{ \alpha } и \boldsymbol{ \beta } по прямым, параллельным p.

Как ее назвать? Согласитесь, сложно придумать короткое название. Для себя (не для оформления на экзамене!) можно запомнить эту картинку как «домик» или «книжечку». Главное — запомнить формулировку и увидеть, как теорема применяется в решении задач.