Анна Малкова
Ей не повезло.
В школьных учебниках ее и теоремой-то редко называют. Говорят, что это «лемма». Или «следствие». Или «задача». Как будто это что-то необязательное и незначительное. А на самом деле это важнейшая теорема о прямой и параллельной ей плоскости.
Даже если в школе ее доказывают — не говорят, зачем она нужна. Доказали — и забыли.
Но при этом в стереометрии — и особенно в задачах ЕГЭ по математике — есть множество ситуаций, когда без этой важнейшей теоремы не обойтись.
Встречайте:
Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:
Пусть прямая m параллельна плоскости . Если плоскость
проходит через прямую m и пересекает плоскость
по прямой c, то c параллельна m.
Для чего нам эта теорема? Например, для того, чтобы построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.
1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M, N, K. Точка N лежит на ребре
Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной MK.
Прямая MK параллельна AB, лежащей в плоскости основания ABC. Значит,
Плоскость сечения проходит прямую MK, параллельную плоскости ABC. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости AВC параллельна прямой MK. Трапеция MKNT — искомое сечение.
Таких задач, где в сечении пирамиды получается трапеция (или параллелограмм), в вариантах Профильного ЕГЭ очень много.
2. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 8, точка K — середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Пусть точка M — середина AB. Тогда как средняя линия
Пусть точка N — середина PD. Поскольку KN — средняя линия и тогда
Построим сечение пирамиды плоскостью KMN. Пусть плоскости KMN и ABC пересекаются по прямой МE. Покажем, что
По теореме о прямой и параллельной ей плоскости,
Это значит, что Прямая ME содержит точку О, являющуюся проекцией вершины P на плоскость ABC. Трапеция KNEM - искомое сечение.
б) Найдём площадь сечения.
где
— высота трапеции KNEM.
Пусть H — середина KN,
тогда
Есть еще одна теорема — такая же полезная, как и теорема о прямой и параллельной ей плоскости. Вот она:
Теорема. Пусть плоскости и
пересекаются по прямой р. Плоскость
параллельна прямой р. Тогда она пересекает плоскости
и
по прямым, параллельным
.
Как ее назвать? Согласитесь, сложно придумать короткое название. Для себя (не для оформления на экзамене!) можно запомнить эту картинку как «домик» или «книжечку». Главное — запомнить формулировку и увидеть, как теорема применяется в решении задач.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Теорема о прямой и параллельной ей плоскости» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 07.05.2023