Анна Малкова
Основное правило: Результат честного жребия не зависит от порядка, в котором его тянут.
Представьте, что вы с друзьями впятером отправились на рыбалку. Всем нравится ловить рыбу, никому не нравится ее чистить. Но кому-то придется это сделать, чтобы сварить уху на костре. Вы решили тянуть жребий. Взяли 4 длинные спички и одну короткую. Кто короткую вытянет, тот и рыбу чистит.
Как лучше тянуть жребий, чтобы вероятность вытянуть короткую спичку была наименьшей? Первым? Или последним?
Оказывается, это все равно! Тянете вы жребий первым, последним или посередине – вероятность вытянуть короткую спичку одна и та же и равна (одна короткая спичка из пяти спичек).
Вот похожая ситуация. Вы на экзамене, выучили 10 билетов из 30. Если кто-то вытянул билет, то билет откладывается в сторону и больше не используется. Как лучше идти отвечать – первым, вторым или последним? В каком случае вероятность вытянуть «счастливый» билет будет выше?
Ответ: все равно. Результат честного жребия не зависит от порядка, в котором его тянут. Мы докажем это в теме «Дерево возможных исходов».
1. ЕГЭ. В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов из России, 8 спортсменов из Швеции и 7 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним.
Решение:
Благоприятные исходы: последним стартует спортсмен из Швеции.
\(m=8\) – число спортсменов из Швеции, и это число благоприятных исходов.
\(n=10+8+7=25\) – число всех спортсменов. Это общее число исходов.
Что такое жребий? Например, на листках бумаги написали номера от 1 до 25, листки бумаги сложили в коробку, и участники лыжных гонок по очереди тянут листки с номерами из коробки.
Запомним правило: результат честного жребия не зависит от порядка, в котором его тянут.
В таких задачах мы считаем вероятность просто по определению.
Вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним, равна отношению числа спортсменов из Швеции к общему числу спортсменов.
\(p=\displaystyle \frac{m}{n}=\frac{8}{25}=0,32\).
Ответ: \(0,32\).
2. ЕГЭ. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\). Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу \(A\)?
Решение:
Найдем вероятность противоположного события: команда России попадет в группу \(A\). Эта вероятность равна \(\displaystyle \frac{4}{16}\), так как в группу \(A\) попадут 4 команды.
\(p=\displaystyle \frac{4}{16}=0,25\).
Тогда вероятность того, что команда России не попадет в группу \(A\), равна \(1-0,25=0,75\).
Ответ: 0,75.
3. Илон Маск с помощью жребия выбирает трех олигархов для отправки на Марс. На Марс хотят попасть четыре олигарха из Америки и восемь из России, среди которых есть олигарх Д. Найдите вероятность того, что Д. полетит на Марс.
Решение:
Всего олигархов 12, на Марс попадут трое, значит вероятность, что Д. попадет туда, равна \(\displaystyle \frac{3}{12}=0,25\).
В задачах на жребий мы пользуемся правилом: результат честного жребия не зависит от порядка, в котором его тянут.
Ответ: \(0,25\).
4. ЕГЭ. В классе 26 человек, среди них два друга — Андрей и Сергей. Класс случайным образом разбивают на 2 группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Решение:
Пусть Андрей первым занял место в группе (неважно, в какой). И, кроме него, осталось еще 25 человек, среди которых его друг Сергей. Сколько у Сергея шансов оказаться в той же группе, что и Андрей?
Решение:
В группе должно быть 13 человек, то есть Андрей и еще 12. Значит, вероятность того, что Сергей окажется в той же группе, что и Андрей, равна \(\displaystyle \frac{12}{25}\), то есть 0,48.
А если Андрей не смог первым занять место, а наоборот, предпоследним выбрал группу? – Это неважно! Мы говорили, что результат честного жребия не зависит от порядка, в котором его тянут. Здесь похожая ситуация.
Ответ: \(0,48\).
5. ЕГЭ. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.
Решение:
Пусть Вадим оказался в одной из групп. Тогда в этой группе осталось еще 6 мест на которые могут претендовать 20 человек, в том числе и Олег. Вероятность оказаться в одной группе с Вадимом у любого учащегося, в том числе и у Олега, равна \(\displaystyle \frac{6}{20} = 0,3\).
Ответ: \(0,3\).
6. ЕГЭ. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Решение:
Решим задачу простым способом – без применения формул комбинаторики.
Пусть одна из девочек (бойкая и быстрая) сразу заняла место за круглым столом. Тогда за столом остается 8 свободных мест. Вторая девочка может занять место слева или справа от первой, то есть благоприятных исходов два. Значит, вероятность того, что обе девочки сидят рядом, равна \(\displaystyle \frac{2}{8}=\frac{1}{4}\).
А если первая девочка была не бойкая, а наоборот, медленная и стеснительная? И заняла место предпоследней? – Это неважно. Результат честного жребия не зависит от порядка, в котором его тянут.
Ответ: \(0,25\).
7. В гламурной тусовке участвует 301 человек, которых случайным образом рассаживают за 43 столика с одинаковым количеством мест. Найдите вероятность того, что рэпер Клим и его фанатка Люба окажутся за одним столиком.
Решение:
Количество мест за каждым столиком равно \(301:43=7\).
Пусть Клим занял одно из мест. За столиком, который он выбрал, осталось еще 6 свободных мест (6 благоприятных исходов для Любы). Поскольку одно из мест занято Климом, всего для Любы существует \(301–1=300\) возможных исходов. Вероятность того, что Клим и Люба окажутся за одним столиком, равна \(6:300=1:50=0,02\).
Ответ: \(0,02\).
