Перед вами необычный тест ЕГЭ-2016 по математике.

Тестов ЕГЭ в интернете множество, но другого такого нет. Это не просто тест. Над ним работали наши лучшие преподаватели-математики. В самых неожиданных местах заготовлены ловушки. Вы проверите, насколько хорошо вы знаете математику, а в конце узнаете, что вас ждет в будущем.

Хотите попробовать свои силы? Вперед!

Цена билета на одну поездку в московском метро на 15 мая 1998 года составляла 2 рубля, а на 15 мая 2008 года 19 рублей. На сколько процентов поднялась за эти десять лет цена билета на одну поездку?

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 850

В рублях прибавка составила 17 рублей, то есть сумму, в 8,5 раз большую, чем 2 рубля. Значит, в процентах прибавка составила 850%

На графике показан ВВП Египта в долларах США по годам. Сколько лет за период с 1991-го по 2001-й годы включительно наблюдался спад ВВП Египта по отношению к предыдущему году?

ВВП Египта

Ответ:

Ответ верный!

Спад ВВП по отношению к предыдущему году наблюдался с 1991 по 2001 год включительно в 1991, 1992 и 2001 году, то есть 3 года.

Правильный ответ: 3

ВВП в каждом конкретном году обозначен прямоугольником на диаграмме. Что же значит «спад по отношению к предыдущему году»? Это значит, что соответствующий году прямоугольник ниже, чем предыдущий. В период с 1991 по 2001 год таких было три, соответствующих 1991, 1992 и 2001 год.

Найти площадь четырехугольника $\rm ABCD$, если его вершины имеют координаты $\rm A(1;1), B(-3;2), C(3;1)$ и $\rm D(2;-2)$.

Ответ:

Ответ верный!

Проще всего найти площадь $\rm ABCD$ как сумму площадей треугольников $\rm ABC$ и $\rm ACD$. Основание этих треугольников – $\rm AC$ – равно $2$, а высоты соответственно $1$ и $3$. Итак, площадь $\rm ABCD$ есть $1+3=4$.

Правильный ответ: 4

Проверьте, как вы соединили вершины четырехугольника. Они должны быть соединены по порядку: $\rm ABCD$ . Полученный невыпуклый четырехугольник разбиваем на треугольники $\rm ABC$ и $\rm ACD$ . Основание этих треугольников – $\rm AC$ – равно $2$ , а высоты соответственно $1$ и $3$ . Итак, площадь $\rm ABCD$ есть $1+3=4$ .

Признанный сердцеед Хуан Гарсия Санчес Веласкес де Кабрал каждый вечер играет на гитаре под окном неприступной красавицы Сесилии Кончиты Сантамарии Гальего. Вероятность того, что она в знак любви бросит ему красную розу, равна 0,1 в отдельно взятый вечер. Какие шансы, что Хуан Гарсия Санчес Веласкес де Кабрал завоюет сердце Сесилии Кончиты Сантамарии Гальего, если её соседи согласны терпеть его бренчание только четыре вечера?

Ответ:

Ответ верный!

Вероятность получить красную розу в знак любви в отдельно взятый вечер равна $0,1$. Хуан Гарсия (если ему повезет!) может получить ее в первый вечер, во второй, в третий или в четвертый, причем вероятности каждого из этих событий разные.

В первый вечер: вероятность получить красную розу равна $0,1.$

Во второй вечер: $0,9 \cdot 0,1$ – поскольку с вероятностью $0,9$ Хуан Гарсия во второй вечер вообще оказался под окном Сесилии Кончиты.

В третий вечер: $0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1$.

В четвертый вечер: $0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1$.

Итак, вероятность для Хуана Гарсии завоевать сердце Сесилии Кончиты Сантамарии Гальего равна $0,1 + 0,9 \cdot 0,1 + 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1 + 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 0,271$.

Правильный ответ: 0,271

Похоже, вы решали задачу, предположив, что Хуан Гарсия приходит каждый вечер и упорно продолжает бренчать на гитаре, — независимо от того, бросила Сесилия Кончита красную розу или нет! Хуан, ты не прав! Получил красную розу — бросай гитару, веди Кончиту на свидание!

Вероятность получить красную розу в знак любви в отдельно взятый вечер равна $0,1$ . Хуан Гарсия (если ему повезет!) может получить ее в первый вечер, во второй, в третий или в четвертый, причем вероятности каждого из этих событий разные.

В первый вечер: вероятность получить красную розу равна $0,1$ .

Во второй вечер: $0,9 \cdot 0,1$ – поскольку с вероятностью $0,9$ Хуан Гарсия во второй вечер вообще оказался под окном Сесилии Кончиты.

В третий вечер: $0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1$ .

В четвертый вечер: $0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1$ .

Итак, вероятность для Хуана Гарсии завоевать сердце Сесилии Кончиты Сантамарии Гальего равна $0,1 + 0,9 \cdot 0,1 + 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1 + 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1 = 0,271$ .

Правильный ответ: 0,271

В первый вечер: вероятность получить красную розу равна $0,1$ .

В третий вечер: $0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1$ .

В четвертый вечер: $0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,1$ .

Решить уравнение
$9^{3-x}=27^{x+1}.$

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 0,6

Пользуясь тем, что $9=3^2$ , а $27=3^3$ , приводим уравнение к виду $3^{6-2x}=3^{3x+3}$ , откуда следует, что $6-2x=3x+3$ и $x=0,6$ .

6. В треугольнике $\rm ABC$ угол $\rm C = 90^{\circ}, AC = 14, AB = 50$. Найти расстояние между точкой $\rm C$ и прямой $\rm AB$.

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 13,44

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. По теореме Пифагора находим $\rm BC=48$ , далее выражаем площадь $\rm ABC$ двумя способами: как половина произведения катетов и как половина произведения $\rm AB$ на искомый отрезок (высоту, проведенную к гипотенузе). Итак, нужное расстояние есть $14 \cdot 48/50 = 13,44$ .

Прямая $y=ax$ является касательной к графику функции $y=x^2+1$, причем абсцисса точки касания меньше нуля. Найдите значение $a$.

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: -2
Запишем, при каких условиях прямая $y=kx+b$ является касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ :

$\left\{\begin{matrix}f(x)=kx+b,\\ f'(x)=k. \phantom{11111}\end{matrix}\right.$

Условия касания прямой $y = ax$ и параболы $x^2+1$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядят так:

$\left\{\begin{matrix}a=2x_0, \phantom{1111}\\ ax_0=x_0^2+1.\end{matrix}\right.$

Решая эту систему и принимая во внимание, что $x_0 < 0$ , имеем $a=-2$ .

Запомните условия касания! Пригодятся и в задачах части 1, и в задачах с параметрами (С5).

8. В правильной четырехугольной пирамиде $\rm SABCD$ точка $\rm E$ – середина ребра $\rm AB$, боковое ребро $\rm SC$ равно $4$, длина отрезка $\rm SE$ равна $\sqrt{10}$. Найти объем пирамиды $\rm SABCD$.

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 16
Найдем сначала сторону основания пирамиды. По теореме Пифагора для треугольника $\rm SAE$ получаем, что $AE=\sqrt{6}$ , соответственно, сторона основания пирамиды есть $2\sqrt{6}$ . Если обозначить центр основания за $\rm H$ , то высоту пирамиды $\rm SH$ найдем по теореме Пифагора для треугольника $\rm SHE$ – она равна $2$ . Применяя формулу для объема пирамиды, получаем ответ: $16$ .

Найдите $\sin \alpha$, если известно, что $\rm ctg\mkern 2mu\alpha = -0,75$ и 2π < α < 3π.

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 0,8

Наш угол лежит во второй четверти, значит, его синус положителен. Пользуясь формулой $\rm \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sin^2 \alpha}=ctg^2\mkern 2mu\alpha + 1$ , находим ответ: $0,8$ .

Дальность полета $\rm L$ мяча, брошенного под углом α (0° < α < 90°) к горизонту, зависит от начальной скорости $\rm V_0$ и угла $\alpha$ по закону $\rm L=0,1 \cdot V_0^2 \cdot \sin 2\alpha$, где $\rm L$ измеряется в метрах, а $\rm V_0$ в метрах в секунду. Определить, при каком максимальном значении $\rm \alpha$ дальность полета будет не меньше $5$ метров, если начальная скорость мяча составляет $10$ метров в секунду. Ответ дать в градусах.

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 75

Подставив значения величин в формулу для дальности полета, получим неравенство:

$\sin 2 \alpha\geqslant\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$ .

Как решить такое неравенство? Ошибка, которую многие допускают, - «превращают» его в уравнение (и получают неверный ответ $\alpha=15$ градусов).

Правильно будет воспользоваться тригонометрическим кругом (или же графиком функции $y= \sin 2 \alpha$ ).

Обозначим $2 \alpha = t$ ,

$\sin t\geqslant\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

круг

Отсюда с учетом возможного диапазона угла $\alpha$ получаем $\alpha (30^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 150^{\circ})$ . Значит, максимальное значение $\alpha$ равно $75$ градусов.

Иванов, Петров и Сидоров работают малярами. Иванов и Петров вдвоем покрасят один забор за $40$ минут рабочего времени, Иванов и Сидоров вдвоем покрасят один забор за $50$ минут рабочего времени, все три маляра вместе покрасят $17$ заборов за $10$ часов рабочего времени. Сколько заборов покрасят за $10$ часов рабочего времени вдвоем Петров и Сидоров?

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 7

Для правильного решения этой задачи обозначьте производительности Иванова, Петрова и Сидорова за $x$ , $y$ и $z$ и составьте систему уравнений. Время удобнее выразить в часах.

$\left\{\begin{matrix}(x+y)\cdot\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3 \vphantom{^a}}=1, \phantom{11111}\\ (x+z)\cdot\frac{\displaystyle 5 \vphantom{^1}}{\displaystyle 6 \vphantom{_a^a}}=1, \phantom{11111}\\ (x+y+z)\cdot10=17.\end{matrix}\right.$

Иванов и Петров за час покрасят полтора забора, а все три маляра вместе $1,7$ забора. Значит, один Сидоров за час покрасит $0,2$ забора. Поскольку вместе с Ивановым Сидоров за час покрасит $1,2$ забора, в одиночку Иванов справится за час ровно с одним забором. Значит, Петров за час красит $0,5$ забора. Итак, Петров и Сидоров за час красят $0,7$ заборов, то есть $7$ заборов за $10$ часов.

Найдите наибольшее значение функции $y=x^3+\frac{\displaystyle 243}{\displaystyle x}$ на отрезке $[2;4]$.

Ответ:

Ответ верный!

Правильный ответ: 129,5

Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо в точке максимума, либо на концах отрезка.

Производная нашей функции есть $3x^2-\frac{\displaystyle 243}{\displaystyle x^2}$ . Анализируя интервалы знакопостоянства производной, приходим к выводу, что $y$ убывает на $[2;3]$ и возрастает на $[3;4]$ , и это значит, что точек максимума на данном отрезке нет.