Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции \(y=f\left ( x \right )\). Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось \(X\).
Ось ординат — вертикальная ось, или ось \(Y\).

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается \(x\).
Другими словами, мы сами выбираем \(x\), подставляем в формулу функции и получаем \(y\).

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента \(x\), при которых функция существует.
Обозначается: \(D\left ( f \right )\) или \(D\left ( y \right )\).

На нашем рисунке область определения функции \(y=f\left ( x \right )\) — это отрезок \(\left[ -5; 6 \right]\). Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная \(y\). На нашем рисунке это отрезок \(\left[ -3; 7 \right]\) — от самого нижнего до самого верхнего значения \(y\).

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть \(y=0\). На нашем рисунке это точки \(x=-4\) и \(x=1\).

Значения функции положительны там, где \(y>0\). На нашем рисунке это промежутки \(\left[ -5; -4 \right]\) и \(\left[ 1; 6 \right]\).
Значения функции отрицательны там, где \(y<0\). У нас это промежуток (или интервал) от \(-4\) до \(1\).

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве \(M\). В качестве множества \(M\) можно взять отрезок \(\left[ a; b \right]\), интервал \(\left( a; b \right)\), объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция \(y=f\left( x \right)\) возрастает на множестве \(M\), если для любых \(x_1\) и \(x_2\), принадлежащих множеству \(M\), из неравенства \(x_2 > x_1\) следует неравенство \(f\left( x_2 \right) > f\left( x_1 \right)\).

Иными словами, чем больше \(x\), тем больше \(y\), то есть график идет вправо и вверх.

Функция \(y=f\left( x \right)\) убывает на множестве \(M\), если для любых \(x_1\) и \(x_2\), принадлежащих множеству \(M\), из неравенства \(x_2 > x_1\) следует неравенство \(f\left( x_2 \right) < f\left( x_1 \right)\).

Для убывающей функции большему значению \(x\) соответствует меньшее значение \(y\). График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция \(f\left( x \right)\) возрастает на промежутке \(\left[ -2; 4 \right]\) и убывает на промежутках \(\left[ -5; -2 \right]\) и \(\left[ 4; 6 \right]\).

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке \(x=4\) — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка максимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке \(x= -2\) — точка минимума.

Точка \(x= -5\) — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и \(x=6\) на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это \(x=4\) и \(x= -2\).

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции \(y=f\left ( x \right )\) на отрезке \(\left[ -4; 0 \right]\)? В данном случае ответ: \(y= -3\). Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен \(3\). Он достигается в точке \(x=4\).

Можно сказать, что экстремумы функции равны \(3\) и \(-3\).

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ 5; 6 \right]\) равно \(3\) и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно \(7\). Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.