На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:
- область определения функции
- область значений функции
- нули функции
- промежутки возрастания и убывания
- точки максимума и минимума
- наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Уточним терминологию:
Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось .
Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем
.
Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или
.
На нашем рисунке область определения функции — это отрезок
. Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.
Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок
— от самого нижнего до самого верхнего значения
.
Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки
и
.
Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки
и
.
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от
до
.
Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества
можно взять отрезок
, интервал
, объединение промежутков или всю числовую прямую.
Функция возрастает на множестве
, если для любых
и
, принадлежащих множеству
, из неравенства
следует неравенство
.
Иными словами, чем больше , тем больше
, то есть график идет вправо и вверх.
Функция убывает на множестве
, если для любых
и
, принадлежащих множеству
, из неравенства
следует неравенство
.
Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение
. График идет вправо и вниз.
На нашем рисунке функция возрастает на промежутке
и убывает на промежутках
и
.
Определим, что такое точки максимума и минимума функции.
Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
На нашем рисунке — точка максимума.
Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка максимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
На нашем рисунке — точка минимума.
Точка — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и
на нашем графике не может быть точкой минимума.
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это и
.
А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке
? В данном случае ответ:
. Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.
Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке
.
Можно сказать, что экстремумы функции равны и
.
Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно
и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно
. Оно достигается в левом конце отрезка.
В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
Звоните нам: (495) 984 09 27 ЕГЭ-Студия
Или нажмите на кнопку «Запишитесь в группу», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно вам перезвоним.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Исследование графика функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 06.09.2023