Задание 12
a) Решите уравнение
\(2sin^{3}x=-cos(\frac{\pi }{2}+x)\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\begin{bmatrix}
-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}
\end{bmatrix}\)
Решение:
\(2sin^{3}x=-cos(\frac{\pi }{2}+x)\)
По формуле приведения,
\(cos(\frac{\pi }{2}+x)=-sinx\)
\(2sin^{3}x-sinx=0\)
\(sinx(2sin^{2}x-1)=0\)
\(\left[ \begin{array}{ccc} sinx=0 \\ sin^{2}x=1/2 \\ \end{array}\right.\)
\(\left[ \begin{array}{ccc} sinx=0 \\ sinx=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array}\right.\)
\(\left[ \begin{array}{ccc} x=\pi n, n\in Z \\ x=\pm \frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z \\ \end{array}\right.\)
б) Найдём корень на отрезке \(\begin{bmatrix}
-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}
\end{bmatrix}\) с помощью двойных неравенств.
1) \(x=\pi n,n\in Z\)
\(-\frac{3\pi }{2}\leq\pi n\leq -\frac{\pi }{2}\)
\(-\frac{3}{2}\leq n\leq -\frac{1}{2}\)
\(x=-1\)
\(x=-\pi\)
2) \(x=\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z\)
\(-\frac{3\pi }{2}\leq \frac{\pi }{4}+\pi k\leq -\frac{\pi }{2}\)
\(-\frac{3}{2}\leq \frac{1}{4}+k\leq -\frac{1}{2}\)
\(-\frac{7}{4}\leq k\leq -\frac{3}{4}\)
\(k=-1\)
\(x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\)
3) \(x=-\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z\)
\(-\frac{3\pi }{2}\leq -\frac{\pi }{4}+\pi k\leq -\frac{\pi }{2}\)
\(-\frac{3}{2}\leq -\frac{1}{4}+k\leq -\frac{1}{2}\)
\(-\frac{5}{4}\leq k\leq -\frac{1}{4}\)
\(k=-1\)
\(x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{5\pi }{4}\)
Ответ: \(-\frac{5\pi }{4}\); \(-\pi\); \(-\frac{3\pi }{4}\)
к оглавлению ▴Задание 14
Решите неравенство \(\frac{4\cdot 3^{2x}-7\cdot3^{x+1}+27}{3^{x+3}-3^{2x+2}}\leq \frac{1}{3^{x+2}}\)
Решение:
\(\frac{4\cdot 3^{2x}-7\cdot3^{x+1}+27}{3^{x+3}-3^{2x+2}}\leq \frac{1}{3^{x+2}}\)
Замена \(3^{x}=t, t> 0\).
\(\frac{4\cdot t^{2}-7\cdot3\cdot t+27}{27\cdot t-9\cdot t^{2}}\leq \frac{1}{9t}\)
\(\frac{4t^{2}-21t+27}{t(3-t)}-\frac{1}{t}\leq 0\)
\(\frac{1}{t}\cdot(\frac{4t^{2}-21t+27}{3-t}-1)\leq 0\)
\(\frac{1}{t}\cdot(\frac{4t^{2}-21t+27-3+t}{3-t})\leq 0\)
\(\frac{1}{t}\cdot(\frac{4t^{2}-20t+24}{t-3})\geq 0\)
\(\frac{t^{2}-5t+6}{t(t-3)}\geq 0\)
\(\frac{(t-3)(t-2)}{t(t-3)}\geq 0\)
\(\left\{\begin{matrix}
\frac{(t-2)}{t}\geq 0 \\ t\neq 3
\end{matrix}\right.\)
Получим: \(\left\{\begin{matrix}
t\geq 2 \\ t\neq 3
\end{matrix}\right.\)
Вернемся к переменной х.
\(\left\{\begin{matrix}
3^{x}\geq 2 \\ 3^{x}\neq 3
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
3^{x}\geq 3^{log_{3}2} \\ 3^{x}\neq 3^{1}
\end{matrix}\right.\)
Функция \(y=3^{z}\) монотонно возрастает, поэтому если \(3^{z_{1}}\geq 3^{z_{2}}\), то \(z_{1}\geq z_{2}\).
\(\left\{\begin{matrix}
x\geq log_{3}2 \\ x\neq 1
\end{matrix}\right.\)
Ответ: \(x\in \begin{bmatrix}
log_{3}2;1\end{bmatrix}\cup \left ( 1;+\infty \right )\)
Задание 15
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 11% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7% в первый год и на целое число n процентов за второй год. Найдите наименьшее значение n, при котором за два года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Решение:
Пусть S – первоначальная сумма вклада, тогда через 2 года хранения вклад А станет равен \(S\cdot 1,11^{2}\);
вклад Б станет равен \(S\cdot 1,07\cdot (1+\frac{n}{100})\),
чтобы вклад Б оказался выгоднее вклада А, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
\(S\cdot 1,07\cdot (1+\frac{n}{100})> 1,11^{2}\)
\(1+\frac{n}{100}> \frac{1,11^{2}}{1,07}\)
\(1+\frac{n}{100}> 1,1515\)
\(\frac{n}{100}> 0,1515\)
\(n> 15,15\)
\(n\geq 16\)
\(n_{min}=16\)
Ответ: 16
к оглавлению ▴Задание 16
В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M.
Известно, что AC=3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 18.
Решение:
а) по свойству медиан треугольника,
\(MB=\frac{2}{3}BB_{1}\Rightarrow AC=2BB_{1}\Rightarrow BB_{1}=\frac{AC}{2}\)
\(\triangle AB_{1}B\) и \(\triangle CB_{1}B\) - равнобедренные,
\(\angle B_{1}AB= \angle ABB_{1}=\alpha \) ,
\(,\angle B_{1}CB= \angle CBB_{1}=\beta \) .
Тогда сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(2\alpha +2\beta =180^{\circ }\) ,
\(\angle ABC= \alpha +\beta =90^{\circ}\) ,
\(\triangle ABC\) - прямоугольный, \(\angle B=90^{\circ} \) .
б) найти: \(AA_{1}^{2}+CC_{1}^{2}\), если \(AC=16\) .
\(\triangle A_{1}BA\) - прямоугольный,
из \(\triangle ABA_{1}\) :
\(AA_{1}^{2}=AB^{2}+A_{1}B^{2}=AB^{2}+\left ( \frac{BC}{2} \right )^{2}\) ;
из \(\triangle BCC_{1}\) :
\(CC_{1}^{2}=BC^{2}+BC_{1}^{2}=BC^{2}+\left ( \frac{AB}{2} \right )^{2}\) ;
\(AA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}=AB^{2}+BC^{2}+\frac{1}{4}AB^{2}+\frac{1}{4}BC^{2}=\)
\(=\frac{5}{4}(AB^{2}+BC^{2})=\frac{5}{4}AC^{2}=\frac{5}{4}\cdot 16^{2}=320\) .
Ответ: 320.
к оглавлению ▴Задание 17
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
\(\left\{\begin{matrix}
(x-4a+3)^{2}+(y-3a-1)^{2}=a-4, \\ 4x-3y=2a+5
\end{matrix}\right.\)
не имеет решений.
Решение:
\(\left\{\begin{matrix}
(x-4a+3)^{2}+(y-3a-1)^{2}=a-4 \\ 4x-3y=2a+5
\end{matrix}\right.\)
1) Если \(a< 4\), система не имеет решений (т.к. \(c^{2}+d^{2}\geq 0\) для любых с и d).
2) Рассмотрим \(a=4\) .
Тогда \((x-4a+3)^{2}+(y-3a-1)^{2}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=4a-3 \\ y=3a+1
\end{matrix}\right.\) .
Подставив a = 4, получим: x = 13 и y = 13;
при x = 13 и y = 13 второе уравнение обращается в верное равенство,
при a = 4 система имеет решение.
3) Рассмотрим a > 4.
Первое уравнение системы задает окружность с центром в точке P (x0; y0), где x0 = 4a − 3; y0 = 3a + 1.
Запишем уравнение прямой, на которой лежит центр окружности.
Так как \(x_{0}=4a-3;y_{0}=3a+1\Rightarrow a=\frac{x_{0}+3}{4}=\frac{y_{0}-1}{3}\Rightarrow\)
\(\Rightarrow \frac{x+3}{4}=\frac{y-1}{3}\Rightarrow 4y=3x+13\Rightarrow y=\frac{3x}{4}+\frac{13}{4}.\)
Это уравнение прямой, на которой лежит центр окружности.
Радиус окружности равен \(\sqrt{a-4}.\)
Второе уравнение задает прямую.
Система имеет решения, если окружность имеет общие точки с прямой, заданной вторым уравнением. Для этих точек расстояние от центра окружности до этой прямой не больше, чем радиус окружности.
Найдём, при каких \(a> 4\) система имеет решения.
Расстояние от точки P (x0; y0) до прямой \(Ax+By+C=0\) находим по формуле
\(d=\frac{\left|Ax_{0}+By_{0}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)
Для точки \(P(4a-3;3a+1)\) и прямой \(4x-3y-2a-5=0\) получим:
\(\frac{\left| 4(4a-3)-3(3a+1)-2a-5\right|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\leq \sqrt{a-4}\)
\(\frac{\left| 16a-12-9a-3-2a-5\right|}{5}\leq \sqrt{a-4}\)
\(\frac{\left| 5a-20\right|}{5}\leq \sqrt{a-4}\)
\(\left| a-4\right|\leq \sqrt{a-4}\)
При этом условии система имеет решения.
Если \(\left| a-4\right|> \sqrt{a-4}\), система решений не имеет.
Обе части неравенства неотрицательны. Возведём их в квадрат.
\((a-4)^{2}> a-4;\)
\((a-4)^{2}- (a-4)> 0.\)
Так как \(a-4> 0,\) получим:
\(a-4-1> 0;\)
\(a> 5.\)
Объединив случаи, запишем ответ.
Ответ: Система не имеет решений, если \(a< 4\) или \(a> 5.\)
к оглавлению ▴Задание 18
У Ани есть 400 рублей. Ей нужно купить конверты (большие и маленькие). Большой конверт стоит 22 рубля, а маленький — 17 рублей. При этом число маленьких конвертов не должно отличаться от числа больших конвертов больше чем на пять.
а) Может ли Аня купить 19 конвертов?
б) Может ли Аня купить 23 конверта?
в) Какое наибольшее число конвертов может купить Аня?
Решение:
Пусть Аня покупает x больших конвертов, y маленьких конвертов.
Всего она потратит \(22x+17y\) рублей.
\(22x+17y\leq 400\)
\(\left|x-y \right|\leqslant 5 \)
Получим систему:
\(\left\{\begin{matrix}
22x+17y\leqslant 400 \\
-5\leqslant x-y\leqslant 5
\end{matrix}\right.\)
Всего Аня покупает k конвертов,
\(k=x+y\). Тогда \(y=k-x\).
Подставив в систему, получим:
\(\left\{\begin{matrix}
22x+17(k-x)\leq 400 \\
-5\leq 2x-k\leq 5
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
5x+17k\leq 400 \\
\frac{k-5}{2}\leq x\leq \frac{k+5}{2}
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{400-17k}{5} \\ \frac{k-5}{2}\leq x\leq \frac{k+5}{2}
\end{matrix}\right.\)
а) Пусть 𝑘 = 19
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{400-17\cdot 19}{5} \\ \frac{19-5}{2}\leq x\leq \frac{19+5}{2}
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{77}{5} \\ 7\leq x\leq 12
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq 15 \\ 7\leq x\leq 12
\end{matrix}\right.\)
Возьмем x=7 (больших конвертов), тогда y=12 (маленьких конвертов).
Всего \(k=12+7=19\)
\(22\cdot7+17\cdot12=358\leqslant400\)
Да, 19 конвертов купить можно.
б) Предположим, что 𝑘 = 23
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{400-17\cdot 23}{5} \\ \frac{23-5}{2}\leq x\leq \frac{23+5}{2}
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{9}{5} \\ 9\leq x\leq 14
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{9}{5} \\ 9\leq x\leq 14
\end{matrix}\right.\)
Получим, что \(x\leq 1,8\) и \(x\geq 9\).
Противоречие. Значит, 23 конверта купить нельзя.
в) Найдём наибольшее возможное k. Мы знаем, что 19 конвертов можно купить, а 23 конверта нельзя. Проверим 𝑘 = 22, 21 и 22.
1) Если 𝑘 = 22
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{400-17\cdot 22}{5} \\ \frac{22-5}{2}\leq x\leq \frac{22+5}{2}
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{26}{5} \\ \frac{17}{2}\leq x\leq \frac{27}{2}
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq 5 \\ 8,5\leq x\leq 13,5
\end{matrix}\right.\) - решений нет.
2) Если 𝑘 = 21
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{400-17\cdot 21}{5} \\ \frac{21-5}{2}\leq x\leq \frac{21+5}{2}
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
x\leq \frac{43}{5} \\ 8\leq x\leq 13
\end{matrix}\right.\)
Единственное решение 𝑥 = 8
Пусть 𝑥 = 8, тогда 𝑦 = 21 − 8 = 13;
\(22\cdot 8+17\cdot 13=176+221=397< 400\) \(k_{max}=21\) Ответ: а) да б) нет в) 21 Страница дополняется. Скоро будут доступны решения всех задач.
