Задание 12
a) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
По формуле приведения,
б) Найдём корень на отрезке с помощью двойных неравенств.
1)
2)
3)
Ответ: ;
;
Задание 14
Решите неравенство
Решение:
Замена .
Получим:
Вернемся к переменной х.
Функция монотонно возрастает, поэтому если
, то
.
Ответ:
Задание 15
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 11% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 7% в первый год и на целое число n процентов за второй год. Найдите наименьшее значение n, при котором за два года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
Решение:
Пусть S – первоначальная сумма вклада, тогда через 2 года хранения вклад А станет равен ;
вклад Б станет равен ,
чтобы вклад Б оказался выгоднее вклада А, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
Ответ: 16
к оглавлению ▴Задание 16
В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M.
Известно, что AC=3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 18.
Решение:
а) по свойству медиан треугольника,
и
- равнобедренные,
,
.
Тогда сумма углов треугольника равна
,
,
- прямоугольный,
.
б) найти: , если
.
- прямоугольный,
из :
;
из :
;
.
Ответ: 320.
к оглавлению ▴Задание 17
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
не имеет решений.
Решение:
1) Если , система не имеет решений (т.к.
для любых с и d).
2) Рассмотрим .
Тогда .
Подставив a = 4, получим: x = 13 и y = 13;
при x = 13 и y = 13 второе уравнение обращается в верное равенство,
при a = 4 система имеет решение.
3) Рассмотрим a > 4.
Первое уравнение системы задает окружность с центром в точке P (x0; y0), где x0 = 4a − 3; y0 = 3a + 1.
Запишем уравнение прямой, на которой лежит центр окружности.
Так как
Это уравнение прямой, на которой лежит центр окружности.
Радиус окружности равен
Второе уравнение задает прямую.
Система имеет решения, если окружность имеет общие точки с прямой, заданной вторым уравнением. Для этих точек расстояние от центра окружности до этой прямой не больше, чем радиус окружности.
Найдём, при каких система имеет решения.
Расстояние от точки P (x0; y0) до прямой находим по формуле
Для точки и прямой
получим:
При этом условии система имеет решения.
Если , система решений не имеет.
Обе части неравенства неотрицательны. Возведём их в квадрат.
Так как получим:
Объединив случаи, запишем ответ.
Ответ: Система не имеет решений, если или
Задание 18
У Ани есть 400 рублей. Ей нужно купить конверты (большие и маленькие). Большой конверт стоит 22 рубля, а маленький — 17 рублей. При этом число маленьких конвертов не должно отличаться от числа больших конвертов больше чем на пять.
а) Может ли Аня купить 19 конвертов?
б) Может ли Аня купить 23 конверта?
в) Какое наибольшее число конвертов может купить Аня?
Решение:
Пусть Аня покупает x больших конвертов, y маленьких конвертов.
Всего она потратит рублей.
Получим систему:
Всего Аня покупает k конвертов,
. Тогда
.
Подставив в систему, получим:
а) Пусть 𝑘 = 19
Возьмем x=7 (больших конвертов), тогда y=12 (маленьких конвертов).
Всего
Да, 19 конвертов купить можно.
б) Предположим, что 𝑘 = 23
Получим, что и
.
Противоречие. Значит, 23 конверта купить нельзя.
в) Найдём наибольшее возможное k. Мы знаем, что 19 конвертов можно купить, а 23 конверта нельзя. Проверим 𝑘 = 22, 21 и 22.
1) Если 𝑘 = 22
- решений нет.
2) Если 𝑘 = 21
Единственное решение 𝑥 = 8
Пусть 𝑥 = 8, тогда 𝑦 = 21 − 8 = 13;
Ответ:
а) да
б) нет
в) 21
Страница дополняется. Скоро будут доступны решения всех задач.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренировочная работа по математике, Статград, февраль 2023» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 28.02.2023